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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2019, VE2, Q1A

Resolva, desenvolvendo detalhadamente, as integrais abaixo. (Obs.: Não é permitido propor primitivas e derivá-las. As integrais devem ser resolvidas!)

  1. ∫ 2 x 3 + x + 2 x 5 + 1 x + x 3 d x
  2. ∫ 1 2 t + 1 t   d t
  3. ∫ 1 + sin ⁡ u   sec 3 ⁡ u d u

Passo 1

Faaaala, galerinha! Aqui aplicaremos o método das frações parciais para integrar:

∫ 2 x 3 + x + 2 x 5 + 1 x + x 3 d x

O método consiste em fatorar a razão de polinômios para depois integrarmos.

∫ 2 x 3 + x + 2 x 5 + 1 x + x 3 d x = ∫ 2 x 3 ( 1 + x 2 ) + x + 1 x ( 1 + x 2 ) d x

= ∫ 2 x 2 + x + 1 x ( 1 + x 2 ) d x

Repare que x + 1 é o resto da divisão dos polinômios.

Passo 2

Continuando separamos a razão remanescente sobre frações cujos denominadores são os divisores do denominador atual:

∫ 2 x 2 + x + 1 x ( 1 + x 2 ) d x = ∫ 2 x 2 + A x + B x + C x 2 + 1 d x

Com coeficientes a determinarmos e com os divisores de raízes reais, x , contendo apenas uma constante em cima e os divisores com raízes complexas conjugadas, x 2 + 1 , mantendo uma função de grau 1 por numerador. Repare que da expressão acima:

x + 1 x ( 1 + x 2 ) = A x + B x + C x 2 + 1

⇒ x + 1 = A x 2 + 1 + x ( B x + C )

⇒ x + 1 = x 2 A + B + C x + A

Pela identidade polinomial:

A + B = 0 C = 1 A = 1 ⇒ B = - 1 C = 1 A = 1

Assim,

∫ 2 x 2 + x + 1 x ( 1 + x 2 ) d x = ∫ 2 x 2 + 1 x + - x + 1 x 2 + 1 d x

Passo 3

Agora, basta calcular as integrais separadamente:

∫ 2 x 2 + 1 x + - x + 1 x 2 + 1 d x = ∫ 2 x 2 + 1 x - x x 2 + 1 + 1 x 2 + 1 d x

Algumas são imediatas:

∫ 2 x 2 + 1 x + 1 x 2 + 1 d x = 2 x 3 3 + ln ⁡ x + arctan ⁡ x + C 1 ,           C 1 ∈ R

Para a remanescente, tome u = x 2 + 1 , com d u = 2 x d x , tal que:

∫ - x x 2 + 1 d x = ∫ - d u 2 u = - 1 2 ln ⁡ u + C 2

= - ln ⁡ x 2 + 1 + C 2 ,               C 2 ∈ R

Assim, somando as parcelas obtemos:

∫ 2 x 3 + x + 2 x 5 + 1 x + x 3 d x = 2 x 3 3 + ln ⁡ x + arctan ⁡ x - ln ⁡ x 2 + 1 + C ,           C ∈ R

Resposta

∫ 2 x 3 + x + 2 x 5 + 1 x + x 3 d x = 2 x 3 3 + ln ⁡ x + arctan ⁡ x - ln ⁡ x 2 + 1 + C ,           C ∈ R

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