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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2019, VE2, Q1B

Resolva, desenvolvendo detalhadamente, as integrais abaixo. (Obs.: Não é permitido propor primitivas e derivá-las. As integrais devem ser resolvidas!)

  1. ∫ 2 x 3 + x + 2 x 5 + 1 x + x 3 d x
  2. ∫ 1 2 t + 1 t   d t
  3. ∫ 1 + sin ⁡ u   sec 3 ⁡ u d u

Passo 1

Faaaala, galerota! Aqui aplicaremos o método da mudança de variáveis para sairmos da raiz em:

∫ 1 2 t + 1 t   d t

Observe que o radicando é sempre positivo, então façamos

u = t + 1 t ⇒ u 2 = 1 + 1 t ⇒ 2 u d u = - 1 t 2 d t

⇒ 2 u d u = - u 2 - 1 2 d t

⇒ d t = - 2 u d u u 2 - 1 2

Logo,

∫ 1 2 t + 1 t   d t = ∫ 2 3 2 u ⋅ - 2 u d u u 2 - 1 2 = - 2 ∫ 2 3 2 u 2 d u u + 1 2 u - 1 2

E a partir daqui aplicaremos o método das frações parciais.

Passo 2

No método das frações parciais, quando um polinômio de divisor aparece com expoente n ≥ 1 , abrímo-lo em frações com os n   múltiplos por denominadores:

- 2 ∫ 2 3 2 u 2 d u u + 1 2 u - 1 2 = - 2 ∫ 2 3 2 A u + 1 + B u + 1 2 + C u - 1 + D u - 1 2 d u

Daí,

u 2 u + 1 2 u - 1 2 = A u + 1 + B u + 1 2 + C u - 1 + D u - 1 2

⇒ u 2 = A u + 1 u - 1 2 + B u - 1 2 + C u - 1 u + 1 2 + D u + 1 2

⇒ u 2 = A u 2 - 1 u - 1 + B u 2 - 2 u + 1 + C u 2 - 1 u + 1 + D ( u 2 + 2 u + 1 )

⇒ u 2 = u 3 A + C + u 2 - A + B + C + D + u - A - 2 B - C + 2 D + ( A + B - C + D )

Pela identidade polinomial:

A + C = 0 - A + B + C + D = 1 - A - 2 B - C + 2 D = 0 A + B - C + D = 0 ⇒     C = - A - 2 A + B + D = 1 - 2 B + 2 D = 0 2 A + B + D = 0

⇒   C = - A - 2 A + B + D = 1 B = D 4 A = - 1 ⇒ C = 1 / 4 2 B = 1 / 2 B = D A = - 1 / 4

⇒ C = 1 / 4 B = 1 / 4 D = 1 / 4 A = - 1 / 4

Logo,

- 2 ∫ 2 3 2 u 2 d u u + 1 2 u - 1 2 = - 2 ∫ 2 3 2 - 1 / 4 u + 1 + 1 / 4 u + 1 2 + 1 / 4 u - 1 + 1 / 4 u - 1 2 d u

Passo 3

Agora, basta calcular as integrais separadamente:

- 2 ∫ 2 3 2 - 1 4 u + 1 + 1 4 u + 1 2 + 1 4 u - 1 + 1 4 u - 1 2 d u

= - 1 2 ∫ 2 3 2 - 1 u + 1 + 1 u + 1 2 + 1 u - 1 + 1 u - 1 2 d u

= - 1 2 - ln ⁡ u + 1 - 1 u + 1 + ln ⁡ u - 1 - 1 u - 1 2 3 2  

= - 1 2 ln ⁡ u - 1 u + 1 - 2 u u 2 - 1 2 3 2  

= - 1 2 ln ⁡ 3 2 - 1 3 2 + 1 - 2 3 2 ⋅ 1 1 2 - ln ⁡ 2 - 1 2 + 1 - 2 2 ⋅ 1 1

= - 1 2 ln ⁡ 3 - 2 3 + 2 ⋅ 3 - 2 3 - 2 ⋅ 2 + 1 2 - 1 ⋅ 2 + 1 2 + 1 + 2 2 ( 1 - 3 )

= - 1 2 ln ⁡ 3 - 2 2 2 + 1 2 - 2 ( 1 - 3 )

= ln ⁡ [ 3 + 2 2 - 1 ] - 2 ( 1 - 3 )

Resposta

∫ 1 2 t + 1 t   d t = ln ⁡ [ 3 + 2 2 - 1 ] - 2 ( 1 - 3 )

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