UFSC – Cálculo 1 – P3 – Questão 2d
Resolva as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão tem muitas etapas, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
Segura minha mão e vem comigo!
Letra (d):
Galera, foca em mim! Sempre que tiver polinômio em cima E embaixo, é frações parciais! Sempre! A gente não consegue resolver essa integral sem separar essas coisas todas, infelizmente!
Mas fica tranquilo, vou te ajudar e vamos resolver juntos passo a passo!
Vou trabalhar só com o integrando por enquanto, então temos:
A ideia é ir voltando no mmc, é como rebobinar uma fita (essa é para a galera vintage)!
Esse integrando vai ser separado em três frações, cada uma com uma parte do denominador, saca só:
E porque essas constantes e ? Porque a gente ainda não sabe quais foram os termos que quando foi feito o mmc e juntado as três frações, deram origem ao polinômio do numerador. Então a gente tem que ir refazendo os passos de frente para trás, e aí achar.
Passo 2
Como a ideia é refazer os passos, pra juntar essas três frações do lado direito, precisamos fazer o mmc entre elas. E quando temos funções, o mmc é o produto delas, certo?
Outra coisa, determinado o mmc, pra fazer a soma a gente divide o mmc pelo denominador e o resultado multiplica pelo numerador. Então nossas frações ficam assim:
E agora? Como os denominadores são iguais, podemos igualar apenas os numeradores:
Viu só?
Passo 3
Vamos dar uma olhandinha com mais carinho pra expressão que temos:
Do lado esquerdo a gente tem um polinômio de grau dois. Do outro lado um polinômio com coeficientes que não sabemos. Ora, um polinômio só é igual ao outro quando os coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais!
Esse é um jeito de fazer: fazer as multiplicações distributivas, agrupar os termos de mesmo grau em e igualar. Dessa forma vamos ter um sistema de 3 variáveis e 3 equações. Funciona. Mas dá trabalho.
Olha só o jeito como vou resolver. Se admitirmos que , então essa expressão fica assim:
Como é uma raiz do denominador, usando esse valor de vamos eliminar os termos com e e essa expressão fica apenas com :
E daqui podemos tirar o valor de !
Daí temos:
Sacou a ideia? É sempre usar algum número que vá eliminar as outras duas constantes. Às vezes dá certo, nem sempre! Por isso expliquei ali em cima o método “comum”.
Passo 4
Vamos encontrar as outras constantes? Bora lá!
Usando temos:
Resolvendo temos:
Tranquilo até aqui?
Agora fazendo temos:
E resolvendo as operações:
Passo 5
Pronto! Agora que sabemos todas as constantes podemos reescrever a fração do integrando:
E podemos voltar para nossa integral:
Podemos separar em três integrais:
Passo 6
Agora é só aplicar essa regra nas integrais que a gente tem! Saca só:
Podemos deixar esses ln´s de uma forma mais compacta: a soma de dois logaritmos é o produto do logaritmando e a subtração é a divisão:
Ah! E temos que um número na frente de um logaritmo pode virar a potência do logaritmando:
Daí com isso vamos juntar esses três logaritmos:
Não esquece do porque é uma integral indefinida!
Aí nossa integral fica:
Ufa! Terminamos! Espero ter te ajudado!
Bora pra próxima?
