UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.4.1b
Resolva as seguintes integrais usando o método das frações parciais:
Passo 1
Olá pessoal, tudo certinho com vocês?
Nessa questão precisamos resolver a integral:
Mas, devemos utilizar o método das frações parciais.
Vocês lembram o que diz esse método?
Basicamente, quando temos uma fração de polinômios em que o numerador possui um grau menor do que o denominador, podemos separar essa fração como a adição ou subtração de duas frações mais simples. Isso facilita o cálculo da integral.
Vamos fazer juntos que vai ficar bem claro como aplicamos esse método na prática.
Passo 2
Então pessoal, existem alguns casos possíveis de fatoração parcial, de acordo com algumas características dos polinômios na fração original.
Pra pensarmos em como atacar o problema é interessante começar fatorando o polinômio no denominador, usando as suas raízes:
Por inspeção temos que:
São ambos raízes. Daí, temos:
Acabamos de fatorar o nosso polinômio do denominador, e chegamos apenas em fatores lineares.
Assim, precisamos usar a seguinte expressão:
Manipulando o lado direito, temos:
Ou seja:
Daí, para que realmente ocorra a igualdade, temos:
Somando as duas equações, temos:
Logo:
Assim, podemos reescrever a nossa fração como:
Muito bom!
Passo 3
Aí, podemos reescrever a integral como sendo:
Viram que legal? Essas duas integrais são bem mais simples.
Começando pela primeira, temos:
Chamando:
Vem:
Voltando à variável original:
Usando raciocínio análogo para a segunda integral, temos:
Juntando tudo e adicionando também a constante de integração, ficamos com:
Prontinhoo! Matamos essa integral 😊
Valeu pela confiança gente, tamo junto!!