UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.4.1c
Resolva as seguintes integrais usando o método das frações parciais:
Passo 1
E aí gente, tudo na paz com vocês?
Nessa questão precisamos resolver a integral:
Mas, devemos utilizar o método das frações parciais.
Vocês lembram o que diz esse método?
Basicamente, quando temos uma fração de polinômios em que o numerador possui um grau menor do que o denominador, podemos separar essa fração como a adição ou subtração de duas frações mais simples. Isso facilita o cálculo da integral.
Vamos fazer juntos que vai ficar bem claro como aplicamos esse método na prática.
Passo 2
Então pessoal, existem alguns casos possíveis de fatoração parcial, de acordo com algumas características dos polinômios na fração original.
Pra pensarmos em como atacar o problema é interessante começar fatorando o polinômio no denominador, usando as suas raízes:
Isso significa que o polinômio do denominador possui duas raízes iguais. Nesse caso, vamos separar as frações da seguinte forma:
Manipulando o lado direito da equação, vem que:
Para que essas frações sejam iguais, como os denominadores já são iguais, os numeradores também precisam ser. Daí:
Assim, ficamos com a seguinte separação:
Muito bom!
Passo 3
Agora vamos voltar para a resolução da integral:
Começando pela primeira integral, temos:
Chamando:
Vem:
Voltando à variável original:
Já na segunda integral, também vamos fazer a mesma substituição de variável. Assim, ficamos com:
Voltando à variável original:
Daí, juntando ambos os resultados:
(não podemos esquecer de somar a constante de integração no final hein pessoaaal haha).
Prontinho, com isso finalizamos mais um item 😊
Obrigado pela atenção!