UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.4.1d
Resolva as seguintes integrais usando o método das frações parciais:
Passo 1
Faala pessoal, tudo beleza?
Nessa questão precisamos resolver a integral:
Mas, devemos utilizar o método das frações parciais.
Vocês lembram o que diz esse método?
Basicamente, quando temos uma fração de polinômios em que o numerador possui um grau menor do que o denominador, podemos separar essa fração como a adição ou subtração de duas frações mais simples. Isso facilita o cálculo da integral.
Vamos fazer juntos que vai ficar bem claro como aplicamos esse método na prática.
Passo 2
Então pessoal, existem alguns casos possíveis de fatoração parcial, de acordo com algumas características dos polinômios na fração original.
Pra pensarmos em como atacar o problema é interessante começar fatorando o polinômio no denominador, usando as suas raízes:
Por inspeção temos que:
São ambos raízes. Daí, temos:
Acabamos de fatorar o nosso polinômio do denominador, e chegamos apenas em fatores lineares.
Assim, precisamos usar a seguinte expressão:
Para que a igualdade seja validade, devemos ter:
Aí, somando as duas equações, temos:
Logo:
Assim, as frações ficam separadas como:
Excelente!
Passo 3
Agora vamos resolver as integrais que vieram da fração parcial:
Começando pelo primeiro termo:
chamando:
Vem:
Voltando à variável original:
Fazendo o processo análogo para a segunda integral, vem que:
Aí agora é só juntar os dois termos!
Vamos ter que:
(não pode esquecer de somar a constante de integração hein pessoal haha)
Prontinho, galera! Curtiram a solução?
Responde Aí!