UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.4.1e
Resolva as seguintes integrais usando o método das frações parciais:
Passo 1
E aí amigos, como vocês estão? Tudo na paz?
Nessa questão precisamos resolver a integral:
Mas, devemos utilizar o método das frações parciais.
Vocês lembram o que diz esse método?
Basicamente, quando temos uma fração de polinômios em que o numerador possui um grau menor do que o denominador, podemos separar essa fração como a adição ou subtração de duas frações mais simples. Isso facilita o cálculo da integral.
Vamos fazer juntos que vai ficar bem claro como aplicamos esse método na prática.
Passo 2
Bom, temos a integral:
Nela temos apenas um polinômio no denominador, que já está fatorado. Esse polinômio é formado por um fator linear, , e um fator quadrático, que não pode ser mais fatorado do que isso nos reais.
Nesses casos, o bizu pra conseguirmos separar em frações parciais é escrevermos:
Como:
Temos:
Daí vamos ter:
Assim, podemos montar o seguinte sisteminha:
Subtraindo a primeira da segunda, temos:
Somando com a terceira equação, vem que:
E:
Daí, podemos escrever a separação em frações parciais da seguinte forma:
Muito bom!
Passo 3
Voltando às integrais, temos:
Vamos resolver as integrais uma a uma:
Chamando:
Vem:
Voltando à variável original:
Vamos agora para a segunda integral:
A primeira integral é tabelada, a famosa integral cuja primitiva é a função arco-tangente. Daí:
A segunda integral pode ser resolvida usando o método de substituição de variáveis:
Chamando:
Logo:
Voltando à variável original:
Agora que temos os resultados de todas as integrais originadas das frações parciais, vamos juntar tudo:
(cuidado com a constante de integração pessoal...)
Mas é issooo, terminamos mais uma!
Vocês entenderam tudinho? Responde Aí!