UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.4.1f
Resolva as seguintes integrais usando o método das frações parciais:
Passo 1
Faaaala galerinha do bem, como vocês estão?
Nessa questão precisamos resolver a integral:
Mas, devemos utilizar o método das frações parciais.
Vocês lembram o que diz esse método?
Basicamente, quando temos uma fração de polinômios em que o numerador possui um grau menor do que o denominador, podemos separar essa fração como a adição ou subtração de duas frações mais simples. Isso facilita o cálculo da integral.
Vamos fazer juntos que vai ficar bem claro como aplicamos esse método na prática.
Passo 2
Bom, a nossa integral do problema já veio com o polinômio do denominador fatorado e bonitinho pra gente 😊
Como todos os fatores são lineares, vamos separar da seguinte forma:
Multiplicando em cima e embaixo no lado direito por:
Vem que o lado direito vale:
Para montar o sisteminha que irá nos dar e sem precisar aplicar a distributiva vezes no lado direito, podemos ir substituindo alguns valores de .
Portanto, podemos escrever a separação em frações parciais como sendo:
Excelente!
Passo 3
Agora vamos voltar para a integral do problema, substituindo o resultado que encontramos no passo anterior:
Perfeito!
Na primeira integral da direita, temos:
Chamando:
Vem:
Voltando à variável original:
O mesmo processo pode ser feito de forma análoga para as outras duas integrais, de modo que encontramos:
Daí, substituído esses resultados na expressão das integrais, chegamos que:
(não podemos esquecer da constante de integração hein pessoal haha...)
Mas é isso galerinha, matamos mais uma questão 😊
Obrigado pela atenção de vocês e até a próxima!