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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.4.2d

2. Resolva as seguintes integrais usando o método das frações parciais:

d) ∫ d x x 2 + 1 2

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ d x x 2 + 1 2 simplificando a fração por meio de frações parciais...

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

A ideia do problema é decompor a fração da integral em frações parciais para facilitar o calculo da integral.

Bora começar! 👀

Passo 2

Vamos começar calculando as frações parciais da integral

1 x 2 + 1 2 = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 + 1 2

Multiplicando em cima e em baixo por x 2 + 1 na fração A x + B x 2 + 1 ...

1 x 2 + 1 2 = A x + B x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 1 + C x + D x 2 + 1 2

1 x 2 + 1 2 = A x + B x 2 + 1 x 2 + 1 2 + C x + D x 2 + 1 2

1 x 2 + 1 2 = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 + 1 2

Dessa forma, simplificando os denominadores...

A x + B x 2 + 1 + C x + D = 1

A x 3 + A x + B x 2 + B + C x + D = 1

A x 3 + B x 2 + A + C x + B + D = 1

Por igualdade de polinômios temos

A = 0 B = 0 A + C = 0 B + D = 1 → A = 0 B = 0 C = 0 D = 1

Substituindo nas frações parciais, temos

1 x 2 + 1 2 = 0 x + 0 x 2 + 1 + 0 x + 1 x 2 + 1 2

1 x 2 + 1 2 = 1 x 2 + 1 2

Ou seja, trocamos 6 por meia dúzia...

Tranquilo até aqui? 😐

Passo 3

Calculando a integral da fração temos

∫ 1 x 2 + 1 2 d x

Podemos substituir x = tan ⁡ u e consequentemente d x = sec 2 ⁡ u d u

∫ sec ⁡ u tan 2 ⁡ u + 1 2 d u

Simplificando...

∫ cos 2 ⁡ u d u

∫ 1 + cos ⁡ 2 u 2 d u = u 2 + sin ⁡ 2 u 4 + C

Voltando para o domínio de x , fazemos u = arctan ⁡ ( x )

∫ 1 x 2 + 1 2 d x = arctan ⁡ ( x ) 2 + sin ⁡ 2 arctan ⁡ ( x ) 4 + C

Podemos simplificar a fração sin ⁡ 2 arctan ⁡ ( x ) 4 como

∫ 1 x 2 + 1 2 d x = arctan ⁡ ( x ) 2 + x 2 x 2 + 1 + C

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ 1 x 2 + 1 2 d x = arctan ⁡ ( x ) 2 + x 2 x 2 + 1 + C

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