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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.4.2f

2. Resolva as seguintes integrais usando o método das frações parciais:

f) ∫ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 2 d θ

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 2 d θ simplificando a fração por meio de frações parciais...

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

A ideia do problema é decompor a fração da integral em frações parciais para facilitar o cálculo da integral.

Nesse caso, antes de calcular as frações parciais podemos aplicar o método de substituição fazendo u = cos ⁡ θ e d u = - sin ⁡ θ d θ , temos

∫ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 2 d θ → ∫ - 1 u 2 + u - 2 d u

Bora começar! 👀

Passo 2

Decompondo a fração em frações parciais, vamos obter

- 1 u 2 + u - 2 = - 1 u - 1 u + 2 = A u - 1 + B u + 2

Multiplicando o numerador e o denominador de A u - 1 por u + 2 e a fração B u + 2 multiplicar por u - 1 .

- 1 u - 1 u + 2 = A u + 2 u - 1 u + 2 + B u - 1 u - 1 u + 2

- 1 u - 1 u + 2 = A u + 2 + B u - 1 u - 1 u + 2

Simplificando os denominadores...

A u + 2 + B u - 1 = - 1

A u + 2 A + B u - B = - 1

A + B u + 2 A - B = - 1

Por igualdade de polinômios, temos

A + B = 0 2 A - B = - 1 → A = - B 2 A - - A = - 1

A = - 1 3 B = 1 3

Substituindo nas frações parciais

- 1 u 2 + u - 2 = - 1 3 · 1 u - 1 + 1 3 · 1 u + 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Substituindo na integral

∫ - 1 u 2 + u - 2 d u = - 1 3 ∫ 1 u - 1 d u + 1 3 ∫ 1 u + 2 d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∫ - 1 u 2 + u - 2 d u = - 1 3 ln ⁡ u - 1 + 1 3 ln ⁡ u + 2 + C

Voltando u para cos ⁡ θ

∫ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 2 d θ = - 1 3 ln ⁡ cos ⁡ θ - 1 + 1 3 ln ⁡ cos ⁡ θ + 2 + C

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 2 d θ = - 1 3 ln ⁡ cos ⁡ θ - 1 + 1 3 ln ⁡ cos ⁡ θ + 2 + C

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