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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 3ª Lista de Exercícios – Questão 13a

Seja f ( x ) um integrando dado por uma fração em que o numerador e o denominador são expressões algébricas envolvendo c o s ⁡ ( x ) e/ou s e n ( x ) . Nete caso, a mudança de variável u = tan ⁡ x 2 pode ser um método recomendado. Temos as igualdades:

s e n x = 2 s e n x 2 cos ⁡ x 2 c o s 2 x 2 = 2 tan ⁡ x 2 s e c 2 x 2 = 2 tan ⁡ x 2 1 + t a n 2 x 2 = 2 u 1 + u 2

c o s x = 1 - 2 s e n 2 x 2 = c o s 2 x 2 s e c 2 x 2 - 2 tan ⁡ x 2 = 1 - tan ² ⁡ x 2 1 + tan ² ⁡ x 2 = 1 - u ² 1 + u ²

x = 2 arctan ⁡ u → d x = 2 d u 1 + u ²

Consequentemente, a integral original é transformada em uma integral em que o integrando é uma função racional g u = P u Q u e, quase sempre o método das frações parciais pode ser aplicado.

Aplique esse método para encontrar uma primitiva para seguintes integrais

∫ 1 1 - cos ⁡ x + s e n x d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

∫ 1 1 - cos ⁡ x + s e n x d x

Para conseguir resolver essa questão, vamos precisar das igualdades fornecidas para a gente no enunciado:

s e n x = 2 u 1 + u 2

c o s x = 1 - u ² 1 + u ²

x = 2 arctan ⁡ u → d x = 2 d u 1 + u ²

Vamos substituir na nossa integral:

∫ 1 1 - cos ⁡ x + s e n x d x = ∫ 1 1 - 1 - u 2 1 + u 2 + 2 u 1 + u 2 × 2 d u 1 + u ²

Ok, mas desse jeito está feio de trabalhar. Vamos arrumar?

∫ 1 1 - 1 - u 2 1 + u 2 + 2 u 1 + u 2 × 2 d u 1 + u ² = ∫ 1 1 + u 2 - 1 + u 2 + 2 u 1 + u 2 × 2 d u 1 + u ²

∫ 1 1 + u 2 - 1 + u 2 + 2 u 1 + u 2 × 2 d u 1 + u ² = ∫ d u u 2 + u

Show galera, agora que arrumamos, como faremos? Frações Parciais!

Passo 2

Vamos lá:

∫ d u u 2 + u = ∫ d u u ( u + 1 )

Fazendo por Frações Parciais, vamos ter a seguinte igualdade:

1 u ( u + 1 ) = A u + B u + 1

Aplicando MMC:

A u + B u + 1 = A ( u + 1 ) u ( u + 1 ) + B ( u ) u u + 1

A u + B u + 1 = A u + A u ( u + 1 ) + B u u u + 1

Logo:

1 u ( u + 1 ) = A u + A + B u u ( u + 1 ) = ( A + B ) u + A u ( u + 1 )

Com isso, vamos ter o seguinte sistema:

A + B = 0 A = 1

Pelo sistema, vamos encontrar então:

B = - 1

Logo,

∫ d u u 2 + u = ∫ 1 u d u - ∫ 1 u + 1 d u

Integrando, vamos encontrar:

∫ d u u 2 + u = ln ⁡ u - ln ⁡ u + 1 + C

Acabamos aqui? Ainda não. Lembra lá da informação do enunciado?

x = 2 arctan ⁡ u → x 2 = a r c t a n ⁡ ( u )

u = tan ⁡ x 2

Substituindo:

∫ 1 1 - cos ⁡ x + s e n x d x = ∫ d u u 2 + u = ln ⁡ tan ⁡ x 2 - ln ⁡ tan ⁡ x 2 + 1 + C

Resposta

ln ⁡ tan ⁡ x 2 - ln ⁡ tan ⁡ x 2 + 1 + C

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