UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 5.6
Substituições trigonométricas e frações parciais
Calcule (inicialmente escolha os valores de )
Passo 1
Para calcular a integral usando substituições trigonométricas e frações parciais, você precisará fazer uso de ambos os métodos em etapas separadas. Primeiro, usaremos substituições trigonométricas para simplificar a integral e, em seguida, aplicaremos frações parciais. Vamos começar:
**Substituição trigonométrica**:
Primeiro, faça a substituição trigonométrica para simplificar a integral.
Use a substituição .
Isso implica em
Agora, substitua esses valores na integral original:
Passo 2
Agora, simplifique o termo no denominador usando frações parciais.
**Frações parciais**:
Seja . O denominador agora se torna uma função racional em Você pode expressá-lo em frações parciais:
onde são constantes, e são as raízes do denominador. A partir dessa decomposição, você pode encontrar os valores de usando métodos apropriados.
Depois de encontrar as constantes , você pode expressar a integral original como uma soma de integrais mais simples:
Passo 3
Agora você pode integrar cada uma das parcelas usando a substituição trigonométrica original. O resultado final será uma soma de integrais de funções simples, que podem ser mais fáceis de resolver do que a integral original.
Lembre-se de que os valores específicos de determinarão as constantes e as raízes do denominador, e, portanto, a expressão exata das integrais simplificadas. A resolução completa depende desses valores específicos.
Resposta
Vide o passo a passo.