UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 5.9
Substituições trigonométricas e frações parciais
Calcule
Passo 1
Vamos resolver a integral
passo a passo usando substituições trigonométricas e frações parciais.
Frações parciais
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Começamos com:
Multiplicamos ambos os lados por para limpar o denominador:
Agora, encontramos os valores de A e B resolvendo esse sistema de equações. Separando os termos:
Para o termo
Para o termo
Para o termo constante:
Resolvendo este sistema, obtemos
Portanto, podemos reescrever a integral como:
Passo 2
Substituição trigonométrica
Agora, vamos lidar com cada parte usando substituição simples. Primeiro, vamos olhar para a integral
Para fazer isso, realizamos uma substituição trigonométrica. Complete o quadrado para o denominador:
Agora, fazemos a substituição:
A integral se torna:
Agora, podemos resolver essa integral usando a fórmula da tangente inversa:
Passo 3
Agora, voltamos para x usando :
Agora, vamos lidar com a segunda parte da integral
Aqui, você pode realizar uma substituição simples:
A integral se torna:
Agora, podemos resolver essa integral usando uma substituição trigonométrica:
Substitua v por
Passo 4
Agora, a integral se torna:
Isso é igual a:
Agora, sabemos que é igual a então a integral se torna:
Integre em relação a , e você obtém:
Passo 5
Agora, volte para x usando a relação
Finalmente, combine as duas partes da integral:
Agora, você pode simplificar os coeficientes e a expressão trigonométrica, se desejar, mas esta é a forma geral da solução para a integral original.
Resposta
Vide a resposta