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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 10b

Use substituição para converter a integral abaixo em integral de funções racionais, e em seguida resolva a integral

∫ s i n ( x ) c o s 2 ( x ) + c o s ( x ) - 6 d x

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez, queremos converter uma integral para outra que contenha somente funções racionais e depois resolvê-la. Nessa questão a nossa integral é

∫ s i n ( x ) c o s 2 ( x ) + c o s ( x ) - 6 d x

Vamos começar fazendo a substituição u   =   - c o s ( x ) ⇒ d u   =   s i n ( x ) d x , então

∫ s i n ( x ) c o s 2 ( x ) + c o s ( x ) - 6 d x = ∫ d u u 2 - u - 6

Chegamos à nossa expressão racional. Vamos resolvê la

Chegamos a conclusão que

∫ s i n ( x ) c o s 2 ( x ) + c o s ( x ) - 6 d x = ∫ d u u 2 - u - 6

Passo 2

Agora vamos desenvolver a integral em u

∫ d u u 2 - u - 6 = ∫ d u u 2 - u   + 1 4   - 6   -   1 4

= ∫ d u ( u + 1 2 ) 2   -   25 4

desmembrando a fração temos:

∫ d u ( u + 1 2 ) 2   -   25 4 = ∫ d u ( u + 1 2   -   5 2 ) ( u + 1 2   + 5 2 ) d u

∫ d u ( u - 2 ) ( u + 3 ) d u

separando a fração temos

∫ d u ( u - 2 ) ( u + 3 ) d u =   ∫ 1 / 5 u - 2 - 1 / 5 u + 3 d u

mas essas integrais são conhecidas, então tem-se que:

∫ 1 / 5 u - 2 - 1 / 5 u + 3 d u   =   1 5 ( - l n ( | u - 2 | ) + l n ( | u + 3 | ) )

brabo, né?

Passo 3

No passo anterior, chegamos a conclusão que

∫ s i n ( x ) c o s 2 ( x ) + c o s ( x ) - 6 d x = ∫ d u u 2 - u - 6

=   1 5 ( - l n ( | u - 2 | ) + l n ( | u + 3 | ) )

Agora vamos retornar a variável original x . Então como fizemos u   =   - c o s ( x ) temos

  ∫ s i n ( x ) c o s 2 ( x ) + c o s ( x ) - 6 d x = 1 5 ( - l n ( | - c o s ( x ) - 2 | ) + l n ( | - c o s ( x ) + 3 | ) ) ) + C

= 1 5 ( - l n ( | c o s ( x ) + 2 | ) + l n ( | - c o s ( x ) + 3 | ) ) + C

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

1 5 ( - l n ( | c o s ( x ) + 2 | ) + l n ( | - c o s ( x ) + 3 | ) ) + C

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