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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 10c

Use substituição para converter a integral abaixo em integral de funções racionais, e em seguida resolva a integral

∫ 1 1 + x + 1 d x

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez, queremos converter uma integral para outra que contenha somente funções racionais e depois resolvê-la. Nessa questão a nossa integral é

∫ 1 1 + x + 1 d x

Vamos começar multiplicando o numerador e denominador por 1 - x + 1 , então

∫ 1 1 + x + 1 d x = ∫ 1 1 + x + 1 1 - x + 1 1 - x + 1 d x

= ∫ 1 - x + 1 - x d x

Separando a integral temos

= ∫ - 1 x + x + 1 x d x

opa, já apareceu uma conhecida

Passo 2

Agora vamos desenvolver a integral abaixo

∫ x + 1 x d x

Fazendo u   =   x + 1 ⇒ 2 u d u   = d x

∫ x + 1 x d x = 2 ∫ u 2 u 2 - 1 d u

Fazendo a divisão polinomial temos:

∫ u 2 u 2 - 1 d u =   2 ∫ 1   +   1 u 2 - 1 d u

Opa então chegamos a conclusão que

∫ u 2 u 2 - 1 d u =   2 u   +   2 ∫ 1 u 2 - 1 d u

Vamos a última integral. Temos que

  ∫ 1 u 2 - 1 d u =   ∫ 1 ( u - 1 ) ( u + 1 ) d u

separando a fração temos

∫ 1 ( u - 1 ) ( u + 1 ) d u =   ∫ 1 / 2 u - 1 - 1 / 2 u + 1 d u

mas essas integrais são conhecidas!!!

Passo 3

No passo anterior, chegamos a conclusão que

∫ x + 1 x d x = 2 ∫ u 2 u 2 - 1 d u

= 2 u   +   2 ∫ 1 u 2 - 1 d u

= 2 u + 2 ∫ 1 / 2 u - 1 - 1 / 2 u + 1 d u

=   2 u   +   2 2 ( l n ( | u - 1 | ) - l n ( | u + 1 | ) )

Retornando à variável original x temos:

u   =   x + 1

Logo

  2 u   +   ( l n ( | u - 1 | ) - l n ( | u + 1 | ) ) = 2 x + 1   +   ( l n ( | x + 1 - 1 | ) - l n ( | x + 1 + 1 | ) )

Juntando tudo temos que:

∫ 1 1 + x + 1 d x   =   ∫ - 1 x + x + 1 x d x

= - l n ( | x | )   + 2 x + 1   +   ( l n ( | x + 1 - 1 | ) - l n ( | x + 1 + 1 | ) )   +   C  

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Essa deu para trabalhar bem nossa habilidade de manipulação de frações!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

- l n ( | x | )   + x + 1   +   1 2 ( l n ( | x + 1 - 1 | ) - l n ( | x + 1 + 1 | ) )   +   C

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