O valor de
é:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Olha, temos uma divisão entre dois polinômios. Um NÃO é derivada do outro. E o denominador tem grau maior (já que 2 termos de estão em produto, ele deve ter grau 2).
Sabe o que essas coisas querem dizer? Vamos ter que usar frações parciais. Respira e vem comigo!
Normalmente a gente tem que tentar reescrever esse denominador como produto de polinômios de grau 1. Mas ele já deixou assim! Então vamos só ser gratos e seguir hahaha
Passo 2
Aí a nossa integral tá assim:
Usar frações parciais é fazer esse integrando virar uma soma de funções tranquilas de integrar assim:
Vamos então descobrir e . Partindo daqui:
Passo 3
A gente multiplica esse termo pelo denominador do outro termo. Aí o faz o mesmo para :
Fazendo a distributiva:
Agora a gente faz um sisteminha. Não temos um termo sozinho (sem ) do lado esquerdo, aí a gente tem o valor para representar isso, e do lado direito temos o e o . Podemos igualar esses dois caras:
Fazendo o mesmo só para os termos multiplicados por em cada lado:
Aí a gente tem um sisteminha:
Vamos multiplicar a segunda equação por e somar as duas:
Como todas essas letrinhas achadas finalmente, a gente reescreve nossa integral:
Passo 4
Agora a gente resolve essa bonita:
Resolvendo cada integral e depois somando.
Essa é a primeira. Fazendo a substituição :
A segunda:
Fazendo a substituição :
Substituindo nossos resultados:
Ajeitando isso com propriedades de log, aquela que fala , e lembrando que :
Resposta
Letra c