Em cada caso identifique e represente graficamente o domínio da função z = f(x, y) .

(c) 4*x^2 + y^2 + z^2 = 1, z <= 0 (d) z = log(1 - 4*x^2 - (y^2 / 9))

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos dá duas funções, sendo elas

( c )   4 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,   z ≤ 0 ( d )   z = l o g ( 1 - 4 x 2 - y 2 9 )

e, precisamos determinar o domínio destas funções! Isso significa, analisar as funções para obter limitações nos valores de ( x , y ) , o caminho costuma sempre ser analisar expressões algébricas que surgem devido a restrições dadas pelo formato da função! Vamos começar com a primeira alternativa! Vem comigo!

Passo 2

Temos que determinar o domínio da função

  4 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,   z ≤ 0

Vamos isolar a variável z , temos que

z = - 1 - 4 x 2 - y 2

em que escolhi o valor negativo pois z ≤ 0 . Como temos uma raiz, nós não podemos ter um número negativo no radicando, ou seja

1 - 4 x 2 - y 2 ≥ 0

Ou, simplesmente

y 2 + 4 x 2 ≤ 1

Isso é a equação de uma elipse! Portanto, o nosso domínio é dado por

ⅅ = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | y 2 + 4 x 2 ≤ 1 }

que pode ser representado no plano como

Vamos fazer a outra agora! Bora lá!

Passo 3

Temos a função

z = l o g ( 1 - 4 x 2 - y 2 9 )

Dentro do logaritmo não podemos ter valores negativos, pois o logaritmo não estaria bem definido! Portanto

1 - 4 x 2 - y 2 9 ≥ 0

ou, simplesmente

4 x 2 + y 2 9 ≤ 1

que é novamente a equação de uma elipse! Temos um domínio tal que

ⅅ = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | 4 x 2 + y 2 9 ≤ 1 }

Vamos representar no plano! Temos que

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

( c ) ⅅ = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | y 2 + 4 x 2 ≤ 1 } ( d )   ⅅ = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | 4 x 2 + y 2 9 ≤ 1 }

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