Determine o domínio e resolva a seguinte equação em :
Passo 1
Vamos começar determinando o domínio. Para situações em que temos funções racionais (frações com polinômios), o domínio será todo o menos os pontos em que o denominador se anula, pois nesse caso estaríamos dividindo por zero, que não pode rolar.
Então vamos ver esses pontos. Para o primeiro denominador:
Então:
Para o segundo, temos:
Logo, nosso domínio será:
Sem repetir nada.
Passo 2
Legal, agora vamos resolver de fato a equação. Para isso, começamos escrevendo o denominador da primeira equação como:
Aí teremos um termo em comum entre as duas frações e para juntá-las basta multiplicar a segunda pelo termo que falta. No caso, :
Aí, distribuímos o que está no numerador e teremos:
Passo 3
Agora, como o denominador está dividindo, jogamos para o outro lado multiplicando:
Distribuindo:
Passo 4
Agora, colocamos tudo de um lado só para aparecer uma equação de segundo grau bem bonita:
E multiplicamos por para o primeiro termo ficar positivo:
Passo 5
Para resolver então, basta recorrer ao Bhaskara. Temos uma equação na forma:
Com:
E teremos:
Assim, substituindo:
Assim, para cada sinal:
Ou seja, nosso conjunto solução será:
Certo??!!
PARA, PARA, PARA!!!! NÃO!!
Lembra do nosso domínio?
não faz parte do domínio. Se um número não faz parte do domínio, não pode fazer parte da solução! Isso acontece pois, se substituirmos :
Teremos uma divisão por zero. Logo, todas as hipóteses de multiplicação e divisão que usamos para chegar na solução da equação de segundo grau não são válidas. Então muito cuidado aqui!
Assim, nossa solução será apenas: