Seja . Determine o domínio de , os valores de onde a se anula e os intervalos onde a é positiva e onde a é negativa.

Vamos verificar se existe alguma limitação sobre o domínio! Para isso, vamos considerar que estamos nos mantendo em um domínio real! Portanto, não podemos ter raízes de números negativos, ou seja, a seguinte relação deve ser obedecida

note que não considerei a igualdade, já que não podemos ter divisões por zero! Distribuindo o produto acima, temos que

Note que é negativo para e é negativo para , os dois não podem ser negativos individualmente, mas não tem problema serem negativos juntos! Portanto, temos um intervalo excluído dado por

Mas, essa não é a única limitação sobre nosso domínio! No numerador temos a função

lembre-se que não existem logaritmos de números negativos, portanto, os nossos valores de estão limitados a relação

ou resumindo, temos que

ou

e

O que em conjunto com o intervalo que encontramos anteriormente nos dá o seguinte dominio

Maravilha! Temos o domínio! Vamos ver quando isso é positivo ou negativo agora!

O sinal da função é totalmente definido pelo sinal do logaritmo no numerador, já que a raiz no denominador nunca resultará em um número negativo. O logaritmo é nulo na seguinte condição

se, e somente se

portanto, quando tivermos que

ou, os seguintes valores . Note que apenas está em nosso domínio. E, a função é negativa para

ou, quando , o que nos dá o intervalo para uma função negativa como

que tem apenas uma pequena porção dentro do domínio quando

Portanto, a função é negativa apenas neste intervalo! O intervalo de positividade será o complementar ao acima, ou seja

e, assim temos que a função é positiva sempre que

já que tem um pequeno pedaço do intervalo de positividade que não pertence ao domínio da função! A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!