Determine o domínio e resolva a seguinte equação em R :

x / (x - 2) + 4 / (x - 1) = 5

Passo 1

Vamos começar determinando o domínio. Para situações em que temos funções racionais (frações com polinômios), o domínio será todo o R , menos os pontos em que o denominador se anula, pois nesse caso estaríamos dividindo por zero, que não pode rolar.

Então, seguindo essa ideia, vamos olhar para os denominadores:

x - 2

x - 1

Para achar os pontos em que são iguais a zero, igualamos a zero: x - 2 = 0 ⟹ x = 2

x - 1 = 0 ⟹ x = 1

Então o domínio será:

D = x ∈ R : x ≠ 1 ,   x ≠ 2

Passo 2

Agora vamos resolver a equação, achando o valor de x . Vamos começar juntando as duas frações:

x x - 2 + 4 x - 1 = x x - 1 + 4 x - 2 x - 2 x - 1

Agora distribuímos:

x 2 - x + 4 x - 8 x - 2 x - 1 = x 2 + 3 x - 8 x - 2 x - 1

Agora temos:

x 2 + 3 x - 8 x - 2 x - 1 = 5

Passo 3

Jogamos agora o denominador para o outro lado da equação, multiplicando:

x 2 + 3 x - 8 x - 2 x - 1 = 5 ⟹ x 2 + 3 x - 8 = 5 x - 2 x - 1

Distribuindo:

x 2 + 3 x - 8 = 5 x 2 - x - 2 x + 2

x 2 + 3 x - 8 = 5 x 2 - 15 x + 10

Agora, isolando tudo de um lado:

- 4 x 2 + 18 x - 18 = 0

Podemos simplificar dividindo tudo por - 2 :

2 x 2 - 9 x + 9 = 0

Passo 4

Show, agora temos uma equação de 2 º grau para resolver. Para isso, chamamos nosso grande amigo que temos que buscar no Google para ter certeza do nome: Bhaskara:

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a

x 2 = - b - b 2 - 4 a c 2 a

Para a equação na forma:

a x 2 + b x + c = 0

Com:

a = 2 , b = - 9 , c = 9

Assim, teremos:

x 1 = + 9 + 9 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 9 2 ⋅ 2 = 9 + 81 - 72 4 = 9 + 9 4 = 9 + 3 4 = 12 4 = 3

x 2 = 9 - 3 4 = 6 4 = 3 2

Nenhum dos valores está fora do domínio, então os dois são soluções válidas. Assim, nossa solução vai ser:

S = 3 , 3 2

Done! :D

Resposta

D = x ∈ R : x ≠ 1 ,   x ≠ 2

S = 3 , 3 2

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