UFSCar; Cálculo I – 1ª Lista de exercícios - Revisão de funções – Ex. 1i
1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo
i)
Passo 1
Faala, gente linda! Tudo certo com vocês? Essa questão parece complicadinha, eu sei…
Sai pra lá gatinho, quero você aqui feliz e animado, igual nossos alunos do Responde Aí. Assim, olha:
Ok, agora que temos alunos e gatinhos felizes, podemos seguir com a questão hehehe.
Nesse exercício precisamos encontrar o domínio e a imagem da função dada pelo enunciado.
Legal, mas o que é domínio e imagem? Como encontramos esses valores?
Bem, para entendermos o que é um domínio e imagem, precisamos definir o que é função. Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. A “ferramenta” que transforma os elementos do conjunto A em um elemento do conjunto B é o que chamamos de função.
Assim já definimos quem é o domínio. O domínio é o conjunto numérico formado pelos valores que pode assumir na nossa função.
Já a imagem é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos que correspondem a algum elemento do domínio. Ou seja, todos os valores possíveis que sairão da nossa “ferramenta”, formarão a nossa imagem.
Muito legal, não é? Então bora calcular!
Passo 2
Como vimos no Passo 1, o domínio é formado pelos possíveis valores de . Aqui procuramos se há algum valor de que torna a função impossível de ser resolvida.
Aqui vai uma dica bem valiosa sobre esse tipo de exercício. Como temos uma fração, já temos uma condição a ser observada. O denominador nunca poderá ser !
É uma boa maneira de avaliar se há exceções para o nosso domínio. Então:
Resolvendo:
Legal, já encontramos duas exceções!
Olhando para o numerador, não há nenhuma exceção a ser encontrada. Portanto o domínio da nossa função é:
O domínio é todo diferente de e .
Passo 3
Agora para a imagem, vamos observar os possíveis resultados da nossa função.
Começando a análise, vamos verificar se há alguma chance da nossa função resultar em . Para que isso aconteça, nosso denominador deve ser igual a :
Então, quando , nossa imagem é .
E entre e , os valores vão para o infinito positivo.
Já para os números negativos, temos um valor mínimo de que representa o primeiro valor negativo da nossa imagem.
Quando , .
Desse valor de que encontramos, a imagem vai para o infinito negativo. Concluímos isso quando comparamos numerador e denominador.
Portanto, nossa imagem é:
Morri mas passo bem depois dessa questão longa!
Mas a sensação de conseguir fazer é bom demais, fala aí! Vamos pra próxima então?