1.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:

d) f(x, y) = tan(x - y)

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos obter o domínio da função f x , y = tan ⁡ x - y e obter um esboço do seu gráfico.

Parece tranquilo? 👀

Para obter o domínio de uma função, temos que analisar a função em si e se perguntar quais os possíveis valores as variáveis podem admitir para que a função seja definida no espaço real.

Legal, né? 😊

Já para obter o gráfico da função, podemos usar algumas arte manhas, como por exemplo obter algumas curvas de níveis da função fazendo f x , y = k e definindo algum valor para k onde f seja definido, ou também fixar alguma das variáveis a um constante e esboçar seu gráfico em duas dimensões no plano onde a variável foi fixada.

Entendeu? Bora lá! 😉

Passo 2

Analisando a função, vemos que f é uma função trigonométrica dada por

f x , y = tan ⁡ x - y

O que sabemos da função tangente é que tan ⁡ θ é definido para qualquer θ não múltiplo de π 2 .

Ou seja, o conteúdo da tangente não pode ser múltiplo de π / 2

x - y ≠ p π 2

Podemos reescrever p como 1 + 2 k como k sendo qualquer valor inteiro.

x - y ≠ 1 + 2 k π 2

x - y ≠ 1 + 2 k 2 π ,     k ∈ Z

Reescrevendo isso, temos

D o m f = f x , y ∈ R 2 x - y ≠ 1 + 2 k 2 π ,   k ∈ Z

Bacana, não é? 😊

Passo 3

Para esboçar o gráfico da função temos um método que facilitará nossa vida que é a mudança de variáveis.

Se fizermos x - y = u vamos esboçar o gráfico f no plano z u e como u representa a reta y = x , emboçamos o gráfico em três dimensões perpendicularmente à reta y = x

Veja só...

Esboçando f u = tan ⁡ u , temos

Agora passando para três dimensões, vamos obter que f x , y será constante em u , ou seja, em y = x .

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

D o m f = f x , y ∈ R 2 x - y ≠ 1 + 2 k 2 π ,   k ∈ Z

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