UFSCar; Cálculo I – 1ª Lista de exercícios - Revisão de funções – Ex. 1g
1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo
g)
Passo 1
Oi pessoal, como vão?? Me contaram aqui que vocês estão suuuper animados com essa resolução, felizes pra caramba, como nunca estiveram!!
Não quero saber de desânimo!! Bora transformar ela em algo legal e mais atrativo? hahahaha a gente consegue, acreditem!! Bora lá!!
Nesse exercício precisamos encontrar o domínio e a imagem da função dada pelo enunciado.
Legal, mas o que é domínio e imagem? Como encontramos esses valores?
Bem, para entendermos o que é um domínio e imagem, precisamos definir o que é função. Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. A “ferramenta” que transforma os elementos do conjunto A em um elemento do conjunto B é o que chamamos de função.
Assim já definimos quem é o domínio. O domínio é o conjunto numérico formado pelos valores que pode assumir na nossa função.
Já a imagem é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos que correspondem a algum elemento do domínio. Ou seja, todos os valores possíveis que sairão da nossa “ferramenta”, formarão a nossa imagem.
Muito legal, não é? Então bora calcular!
Passo 2
Como vimos no Passo 1, o domínio é formado pelos possíveis valores de . Aqui procuramos se há algum valor de que torna a função impossível de ser resolvida.
Com certeza você percebeu que temos uma raiz quadrada dentro da função seno. Essa raiz quadrada deve ser analisada, já que se o valor dentro da raiz for menor que zero, não há uma definição da função no campo dos números reais.
Portanto:
Resolvendo essa inequação:
Então, nosso domínio é definido pelos valores maiores ou igual a e menores ou igual a :
Passo 3
Agora para a imagem, vamos observar os possíveis resultados da nossa função.
Pensando nos resultados possíveis da nossa raiz quadrada, podemos encontrar dois extremos:
No primeiro caso, quando a raiz quadrada é igual a :
Esse é o nosso menor valor possível de imagem.
No segundo caso, quando a raiz quadrada é igual a :
Esse é o nosso maior valor possível de imagem.
Portanto a nossa imagem é:
Conseguimos mais uma, pessoal!! Arrasamos!
Aproveita essa sensação top de dever cumprido que eu sei que você está sentindo e bora lá fazer mais umaaa!