Determine o domínio e resolva a seguinte equação em R :

raiz(x + 34, 3) - raiz(x - 3, 3) = 1

Passo 1

Vamos encontrar o domínio primeiro. Como temos uma raiz cubica, o valor que está dentro dela pode ser negativo sem problema, então teremos:

D = x ∈ R

Passo 2

Agora que encontramos o domínio, ao contrário do caso da equação com raiz quadrada, vamos deixar os radicais em lados separados:

x + 34 3 - x - 3 3 = 1

x + 34 3 = 1 + x - 3 3

Passo 3

Com os radicais separados, como temos uma raiz cubica, elevamos ambos lados ao cubo:

x + 34 3 = 1 + x - 3 3

x + 34 3 3 = 1 + x - 3 3 3

Sendo o lado esquerdo:

x + 34 3 3 = x + 34

E o lado direito:

1 + x - 3 3 3 = 1 3 + 3 ⋅ 1 2 ⋅ x - 3 3 + 3 ⋅ 1 ⋅ x - 3 3 2 + x - 3 3 3

= 1 + 3 x - 3 3 + 3 x - 3 3 2 + x - 3

Ficando tudo:

x + 34 = 1 + 3 x - 3 3 + 3 x - 3 3 2 + x - 3

12 = x - 3 3 + x - 3 3 2

x - 3 3 2 + x - 3 3 - 12 = 0

Passo 4

E agora, o que fazemos? Chegou a hora da MARACUTAIA

Olhe só para a equação:

x - 3 3 2 + x - 3 3 - 12 = 0

Temos aí um termo ao quadrado, um termo igual de grau 1 e uma constante. Isso é uma equação de segundo grau! Basta definirmos:

u ≔ x - 3 3

E teremos:

x - 3 3 2 + x - 3 3 - 12 = 0

u 2 + u - 12 = 0

Passo 5

Feita a substituição, vamos resolver essa equação. Temos que a equação é da forma:

a u 2 + b u + c = 0

Com:

a = 1 b = 1 c = - 12

Então, por Bhaskara, teremos:

u = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores: u = - 1 ± 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 12 2 ⋅ 1 = - 1 ± 1 + 48 2

u = 1 ± 49 2 = - 1 ± 7 2

Ou seja, para cada sinal:

u 1 = - 1 + 7 2 = 3

u 2 = - 1 - 7 2 = - 4

Passo 6

Legal, mas achamos foi u . Queremos encontrar x . Para isso, usamos a definição:

u = x - 3 3

Substituímos o primeiro valor:

3 = x - 3 3

Elevamos tudo ao cubo para isolar o x :

3 3 = x - 3 3 3

27 = x - 3

x = 30

Agora, vamos para o segundo valor: - 4 = x - 3 3  

- 4 3 = x - 3 3 3

- 64 = x - 3

x = - 61

Não teremos os problemas com sinal que tivemos na raiz quadrada, então esses valores, que estão no domínio, serão solução:

S = - 61,30

Resposta

D = x ∈ R

S = - 61,30

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