UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 2.2g
Encontre o domínio e a imagem da função e trace um esboço mostrando uma região sombreada em , como um conjunto de pontos no domínio de .
Passo 1
E aí gente, como vocês estão?
Nessa questão estamos trabalhando com as queridíssimas funções de duas variáveis.
Recebemos a função:
E, precisamos calcular o seu domínio e a sua imagem.
Vocês lembram o que é o domínio e o que é a imagem?
É legal pensar numa analogia da função como sendo uma liquidificador. O domínio é o conjunto de todos os ingredientes que você pode colocar dentro do liquidificador (não dá pra colocar tudo, algumas coisas quebraria o aparelho, certo?).
Já a imagem é o que o liquidificador produz após bater todos aqueles ingredientes, sacaram?
Então, nossa ideia é primeiro verificar as possíveis restrições na nossa lei de função para encontrar o domínio de .
Em seguida, vemos os possíveis valores que esse domínio pode nos dar em .
Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊
Passo 2
Vamos analisar a nossa função:
A função logarítmica possui uma restrição quanto ao logaritmando. Ele precisa ser sempre maior do que zero.
Assim:
Logo:
Portanto, o nosso domínio de pode ser escrito como:
Esboçando essa região, temos:
Que representa justamente a região acima da hipérbole:
Excelente!
Passo 3
Analisando agora a imagem, vamos olhar de novo pra função:
O nosso logaritmando, isto é, a expressão:
Varia de (com bola aberta em ) até infinito. Assim, a imagem corresponde à imagem completa da função logarítmica. Que vai de:
Portanto:
E é isso!! Matamos mais um item 😊
Até a próxima!