UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 2.2b
Encontre o domínio e a imagem da função e trace um esboço mostrando uma região sombreada em , como um conjunto de pontos no domínio de .
Passo 1
E aí gente, tudo bom?
Nessa questão estamos trabalhando com as queridíssimas funções de duas variáveis.
Recebemos a função:
E, precisamos calcular o seu domínio e a sua imagem.
Vocês lembram o que é o domínio e o que é a imagem?
É legal pensar numa analogia da função como sendo uma liquidificador. O domínio é o conjunto de todos os ingredientes que você pode colocar dentro do liquidificador (não dá pra colocar tudo, algumas coisas quebraria o aparelho, certo?).
Já a imagem é o que o liquidificador produz após bater todos aqueles ingredientes, sacaram?
Então, nossa ideia é primeiro verificar as possíveis restrições na nossa lei de função para encontrar o domínio de .
Em seguida, vemos os possíveis valores que esse domínio pode nos dar em .
Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊
Passo 2
Bom, analisando a nossa função:
Vemos que a única parte que poderia dar problema e nos traz restrição é a raiz quadrada. Pois a expressão dentre da raiz nunca pode ser negativa. Assim, temos:
Essa é a equação que representa a borda e a região interna de uma circunferência centrada em e com raio valendo .
Para podermos aplicar um ponto em nossa função, a equação acima precisa ser obedecida.
Assim, o nosso domínio é compreendido pela seguinte região do espaço:
E, podemos escrever formalmente esse domínio como:
Excelente!
Passo 3
Pensando agora na imagem, devemos verificar os valores máximos e mínimos da nossa função pensando no domínio que determinamos no passo anterior.
Então, vimos que:
Pra descobrirmos o valor mais positivo, devemos usar a desigualdade das médias. Sendo:
O valor mais positivo do produto desses termos ocorrerá quando:
(Esse bizu é mto bom pessoal)
Assim, devemos ter:
Aqui, como estamos procurando o valor máximo, o termo da direita precisa ser máximo. Assim, devemos ter:
Daí:
Logo:
Assim, como , teremos:
Portanto, o valor mais positivo vale:
Já para o valor mais negativo, como a raiz quadrada é sempre positiva, basta tomarmos:
Assim, teremos:
Logo, a nossa imagem da função é dada por:
Prontinho, gente!
Finalizamos mais uma questão, obrigado pela atenção de vocês 😊