UFSCar; Cálculo I – 1ª Lista de exercícios - Revisão de funções – Ex. 1b
1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo
b)
Passo 1
Fala tchurmaa, como vocês estão? Tudo bem, tudo ótimo? Espero que sim porque se não estiver, agora vai ficar, com essa questãozinha maravilhosa que vamos resolver juntinhos. Vamos que vamos?
Nesse exercício precisamos encontrar o domínio e a imagem da função dada pelo enunciado.
Legal, mas o que é domínio e imagem? Como encontramos esses valores?
Bem, para entendermos o que é um domínio e imagem, precisamos definir o que é função. Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. A “ferramenta” que transforma os elementos do conjunto A em um elemento do conjunto B é o que chamamos de função.
Assim já definimos quem é o domínio. O domínio é o conjunto numérico formado pelos valores que pode assumir na nossa função.
Já a imagem é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos que correspondem a algum elemento do domínio. Ou seja, todos os valores possíveis que sairão da nossa “ferramenta”, formarão a nossa imagem.
Muito legal, não é? Então bora calcular!
Passo 2
Como vimos no Passo 1, o domínio é formado pelos possíveis valores de . Aqui procuramos se há algum valor de que torna a função impossível de ser resolvida.
No caso de , qualquer se seja o valor real não teremos problemas com a função. Portanto esse domínio é:
Para qualquer , pertencente aos números Reais.
Passo 3
Agora para a imagem, vamos observar os possíveis resultados da nossa função.
Como estamos falando de uma função do segundo grau, sabemos que há um ponto onde a concavidade da função muda. E como o valor que acompanha é positivo (número ), esse é um ponto de mínima, ou seja, o menor valor que pode assumir.
E por que saber isso é importante para nós?
Como a função tem um ponto de mínima, não teremos valores de que sejam menores que esse ponto. Portanto ele será um valor limite do nosso conjunto imagem.
E qual é esse ponto de mínimo?
Existe uma fórmula para definirmos esse ponto, que é:
Aqui encontramos o ponto do domínio (valor de ) que gera o nosso mínimo. Esses valores de e são os termos que acompanham e . Então:
Aplicando na função:
Portanto, nosso conjunto imagem será:
Viu só como fazer com calma e seguindo todas as regrinhas ajuda bastante?
Bora que vamos resolver mais uma?!