Sejam f(x) = x^2 - 1 e g(x) = raiz(x) . Determine g 0 f e seu domínio.

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos aqui duas funções definidas como

f ( x ) = x 2 - 1

e, também

g ( x ) = x

O objetivo do problema é identificar a função composta g   ൦   f e obter o seu domínio. Mas como fazemos isso? Podemos lembrar que uma função composta é definida da seguinte maneira

g   ൦   f = g ( f ( x ) )

Ou seja, no lugar da variável x na função g ( x ) iremos substituir a função f ( x ) . A questão também nos pede para definirmos o domínio, para isso vamos analisar o formato das funções e ver para quais valores de x , g   ൦   f é bem definida! Belezinha? Vem comigo!

Passo 2

Primeira coisa, vamos colocar uma função dentro da outra! Temos que

g ( x ) = x

Se utilizarmos que g   ൦   f = g ( f ( x ) ) , podemos identificar x acima como f ( x ) = x 2 - 1 , de forma que

g   ൦   f = x 2 - 1

Mas e qual é o domínio? Que tipo de restrições podem ser colocadas sobre a variável x em g   ൦   f ? Nós vamos ver isso no próximo passo! Se souber, já vai adiantando Ahahah! Bora lá!

Passo 3

Temos a função composta

g   ൦   f = x 2 - 1

Para mantermos a imagem desta função real, ou seja, não queremos que g   ൦   f seja imaginário, é preciso que o que está dentro da raiz nunca seja negativo, (já que raiz de número negativo é imaginário), tendo isso em vista, podemos introduzir a seguinte relação

x 2 - 1 ≥ 0

Podemos escrever a seguinte desigualdade se isolarmos x 2 , temos que

x 2 ≥ 1

Agora, aqui precisamos tomar cuidado, como temos uma desigualdade, e ao tirar a raiz temos que considerar tanto a possibilidade com sinal positivo, quanto a possibilidade com sinal negativo, isso faz com que precisemos tomar um certo cuidado! Saca só!

Passo 4

Temos a seguinte desigualdade

x 2 ≥ 1

Se tirarmos a raiz de ambos os lados, podemos identificar

x 2 ≥ 1

Do lado esquerdo podemos identificar que | x | = x 2 , portanto, nossa desigualdade vira

| x | ≥ 1

Isso acontece para dois intervalos, temos que se

x ≤ - 1

já que a função módulo pega o valor positivo do valor colocado em x , e, também que

x ≥ + 1

Temos então que nosso domínio é

𝔻 = { x ∈ 𝕽 |   x ≤ - 1   e   x ≥ + 1 }

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

g   ൦   f = x 2 - 1

𝔻 = { x ∈ 𝕽 |   x ≤ - 1   e   x ≥ + 1 }

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