UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral I - Provas - Teste 9 - AV1 - 2018.1 - Questão 1
Sejam e . Determine e seu domínio.
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos aqui duas funções definidas como
e, também
O objetivo do problema é identificar a função composta e obter o seu domínio. Mas como fazemos isso? Podemos lembrar que uma função composta é definida da seguinte maneira
Ou seja, no lugar da variável na função iremos substituir a função . A questão também nos pede para definirmos o domínio, para isso vamos analisar o formato das funções e ver para quais valores de , é bem definida! Belezinha? Vem comigo!
Passo 2
Primeira coisa, vamos colocar uma função dentro da outra! Temos que
Se utilizarmos que , podemos identificar acima como , de forma que
Mas e qual é o domínio? Que tipo de restrições podem ser colocadas sobre a variável em ? Nós vamos ver isso no próximo passo! Se souber, já vai adiantando Ahahah! Bora lá!
Passo 3
Temos a função composta
Para mantermos a imagem desta função real, ou seja, não queremos que seja imaginário, é preciso que o que está dentro da raiz nunca seja negativo, (já que raiz de número negativo é imaginário), tendo isso em vista, podemos introduzir a seguinte relação
Podemos escrever a seguinte desigualdade se isolarmos , temos que
Agora, aqui precisamos tomar cuidado, como temos uma desigualdade, e ao tirar a raiz temos que considerar tanto a possibilidade com sinal positivo, quanto a possibilidade com sinal negativo, isso faz com que precisemos tomar um certo cuidado! Saca só!
Passo 4
Temos a seguinte desigualdade
Se tirarmos a raiz de ambos os lados, podemos identificar
Do lado esquerdo podemos identificar que , portanto, nossa desigualdade vira
Isso acontece para dois intervalos, temos que se
já que a função módulo pega o valor positivo do valor colocado em , e, também que
Temos então que nosso domínio é
A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!