Normalmente, o caminho para se definir uma função é escolher o domínio, o contradomínio e, por fim, a regra de formação. Porém, em certas situações, a regra de formação é escolhida inicialmente. Nesse caso, fica a pergunta de que escolhas podemos fazer para o domínio e o contradomínio de forma que se obtenha uma função bem definida. Por exemplo, para a regra de formação podemos escolher como domínio e como contradomínio. Obviamente, há infinitas escolhas que funcionam nesse caso. Convencionou-se, nos cursos de Cálculo que, quando uma regra de formação é fornecida (sem domínio e contradomínio), o domínio é o maior subconjunto de de forma que a regra de formação possa ser calculada dentro do conjunto dos números reais e que o resultado também seja um número real. Por exemplo, o maior subconjunto de para o qual a expressão pode ser calculada usando número reais é . Com isso, dizemos que o domínio da função é . Em cada um dos itens abaixo, encontre o domínio das funções, conforme exemplos nos itens (a) e (b).

Observação. Não há uma convenção absoluta para o contradomínio quando este não é especificado. As duas convenções mais usadas são usar ou usar o conjunto imagem como contradomínio.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

Na letra a), temos:

Repara que essa expressão só vai poder ser calculada nos números reais se o denominador for diferente de e se o número que está dentro da raiz for maior ou igual a zero. Assim, o domínio é o conjunto solução do sistema:

Da primeira equação, temos , e da segunda equação, temos . Então, o sistema é equivalente a:

Então nosso domínio é o conjunto:

No item b), temos:

Uma abordagem errada nesse caso seria, antes de encontrar o domínio, simplificar a fração e dizer que a expressão é igual a , fazendo com que o domínio seja .

Mas nós devemos analisar a expressão original sem qualquer simplificação. Neste caso, o denominador deve ser diferente de e o que está dentro de cada raiz deve ser maior ou igual a , ou seja:

Dessa forma, só pode ser maior do que zero. Assim, temos o domínio:

Na letra c), temos

Repare que pode assumir qualquer valor real na função, porque não existe nenhuma restrição. Geralmente, isso ocorre em funções polinomiais como essa, onde nós temos somas de potências naturais de com coeficientes constantes.

Sendo assim, nosso domínio tá definido para todo conjunto dos números reais:

Na letra d), temos:

Nossa única restrição é que o denominador seja diferente de zero:

Isolando , nós encontramos:

Portanto, nosso domínio é:

Na letra e), temos:

Novamente, nosso denominador precisa ser diferente de zero. Logo,

Tirando a raiz dos dois lados, temos:

Portanto, nosso domínio será:

Na letra f), temos:

Como temos uma raiz quadrada, nosso radicando precisa ser positivo para estar definido em . Logo,

Isolando , temos:

Dessa forma, precisa ser maior ou igual a , e nosso domínio será:

Na letra g), temos:

Nosso radicando precisa ser positivo nas duas raízes, que são iguais, logo:

E nosso domínio será:

Na letra h), temos:

Nosso denominador precisa ser diferente de zero e nosso radicando precisa ser maior ou igual a zero, então temos as condições:

Da primeira equação, temos . E da segunda equação, temos . Então, nossa função precisa ser maior do que , e nosso domínio será:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉