UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 2.2f
Encontre o domínio e a imagem da função e trace um esboço mostrando uma região sombreada em , como um conjunto de pontos no domínio de .
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo beleza?
Nessa questão estamos trabalhando com as queridíssimas funções de duas variáveis.
Recebemos a função:
E, precisamos calcular o seu domínio e a sua imagem.
Vocês lembram o que é o domínio e o que é a imagem?
É legal pensar numa analogia da função como sendo uma liquidificador. O domínio é o conjunto de todos os ingredientes que você pode colocar dentro do liquidificador (não dá pra colocar tudo, algumas coisas quebraria o aparelho, certo?).
Já a imagem é o que o liquidificador produz após bater todos aqueles ingredientes, sacaram?
Então, nossa ideia é primeiro verificar as possíveis restrições na nossa lei de função para encontrar o domínio de .
Em seguida, vemos os possíveis valores que esse domínio pode nos dar em .
Vem com a gente que vai ficar bem claro ����
Passo 2
Vamos analisar a nossa função:
Como trata-se de uma fração, a possível restrição no domínio está justamente no denominador. Precisamos que o denominador seja diferente de zero. Assim:
Logo, o nosso domínio deve incluir todos do plano , exceto o eixo (reta ).
Temos a seguinte representação para o domínio de :
Esboçando essa região, temos:
Onde o domínio de é formado por todos os pontos do exceto a reta em verde.
Passo 3
Agora vamos pensar na imagem de . Como:
Quando tende a , se for negativo então tende a .
Já se , teremos tendendo a .
Portanto, a imagem de corresponde a:
Prontinho!!
Curtiram a solução? Responde Aí!