Encontre o domínio e a imagem da função f e trace um esboço mostrando uma região sombreada em R^3 , como um conjunto de pontos no domínio de f .

f(x, y) = x / |y|

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão estamos trabalhando com as queridíssimas funções de duas variáveis.

Recebemos a função:

f x , y = x | y |

E, precisamos calcular o seu domínio e a sua imagem.

Vocês lembram o que é o domínio e o que é a imagem?

É legal pensar numa analogia da função como sendo uma liquidificador. O domínio é o conjunto de todos os ingredientes que você pode colocar dentro do liquidificador (não dá pra colocar tudo, algumas coisas quebraria o aparelho, certo?).

Já a imagem é o que o liquidificador produz após bater todos aqueles ingredientes, sacaram?

Então, nossa ideia é primeiro verificar as possíveis restrições na nossa lei de função f ( x , y ) para encontrar o domínio de f .

Em seguida, vemos os possíveis valores que esse domínio pode nos dar em f .

Vem com a gente que vai ficar bem claro ����

Passo 2

Vamos analisar a nossa função:

f x , y = x y

Como trata-se de uma fração, a possível restrição no domínio está justamente no denominador. Precisamos que o denominador seja diferente de zero. Assim:

y ≠ 0

Logo, o nosso domínio deve incluir todos do plano R 2 , exceto o eixo x (reta y = 0 ).

Temos a seguinte representação para o domínio de f :

D f = x , y ∈ R 2     y ≠ 0 }

Esboçando essa região, temos:

Onde o domínio de f é formado por todos os pontos do R 2 exceto a reta em verde.

Passo 3

Agora vamos pensar na imagem de f . Como:

f x , y = x y

Quando y tende a 0 , se x for negativo então f ( x , y ) tende a - ∞ .

Já se x > 0 , teremos f ( x , y ) tendendo a + ∞ .

Portanto, a imagem de f corresponde a:

I m f ∈ ( - ∞ ,   + ∞ )

Prontinho!!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

D f = x , y ∈ R 2     y ≠ 0 }

I m f ∈ ( - ∞ ,   + ∞ )

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