USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 1.1b
1.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:
b)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema queremos obter o domínio da função e obter um esboço do seu gráfico.
Parece tranquilo? 👀
Para obter o domínio de uma função, temos que analisar a função em si e se perguntar quais os possíveis valores as variáveis podem admitir para que a função seja definida no espaço real.
Legal, né? 😊
Já para obter o gráfico da função, podemos usar algumas arte manhas, como por exemplo obter algumas curvas de níveis da função fazendo e definindo algum valor para onde seja definido, ou também fixar alguma das variáveis a um constante e esboçar seu gráfico em duas dimensões no plano onde a variável foi fixada.
Entendeu? Bora lá! 😉
Passo 2
Nossa função é dada por
O que sabemos é que existe para todo , a não ser que o não exista...
Assim, para a função existir, a razão entre e deve existir.
A única possibilidade que existe para essa razão não existir, é se o denominador foi , assim, para existir, tem que ser diferente de . Ou seja
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Agora vamos usar as técnicas vistas no passo 1 para determinar o gráfico de .
Primeiro vamos fixar , assim, temos
Para
Para
E para
Esboçando essas curvas nos planos das variáveis fixas, temos
Quanto mais curvas esboçarmos, mas fácil é a visualização do gráfico da função.
Estimando o comportamento de entre as curvas, temos
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí