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Exercícios Resolvidos de Introdução às Curvas e Domínio de Curvas

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Enunciado

IME, 2019, VE2, Q1

Calcule ∫ c F ⋅ d   l → onde F = ( x 2 + y 2 ,   x 2 - y 2 ) e C é a curva de equação y = 1 - | 1 - x | , entre os pontos ( 0,0 ) e ( 2,0 ) .

Passo 1

[ 0,1 ] e [ 1,2 ] . A parametrização fica:

σ ( t ) = t ,   t ,                             0 ≤ t ≤ 1 t ,   2 - t ,             1 ≤ t ≤ 2

Com

σ ' ( t ) = 1 ,   1 ,                             0 ≤ t < 1 1 ,   - 1 ,                     1 < t ≤ 2

Onde a integral será calculada como:

∫ c F ⋅ d   l → = ∫ 0 1 F σ ⋅ σ ' t d t + ∫ 1 2 F σ ⋅ σ ' t d t

Passo 2

Com F = ( x 2 + y 2 ,   x 2 - y 2 ) , temos, pois:

∫ c F ⋅ d   l → = ∫ 0 1 F σ ⋅ σ ' t d t + ∫ 1 2 F σ ⋅ σ ' t d t =

= ∫ 0 1 ( 2 t 2 ,   t 2 - t 2 ) ⋅ ( 1,1 ) d t + ∫ 1 2 ( t 2 + 2 - t 2 ,   t 2 - 2 - t 2 ) ⋅ ( 1 , - 1 ) d t =

= ∫ 0 1 2 t 2 d t + ∫ 1 2 t 2 + 4 - 4 t + t 2 - (   t 2 - 4 + 4 t - t 2 ) d t =

= ∫ 0 1 2 t 2 d t + ∫ 1 2 2 t 2 + 8 - 8 t d t = 2 ∫ 0 1 t 2 d t + 2 ∫ 1 2 t 2 + 4 - 4 t   d t =

= 2 ∫ 0 1 t 2 d t + 2 ∫ 1 2 t - 2 2   d t = 2 t 3 3 0 1 + 2 t - 2 3 3 1 2 =

= 2 ⋅ 1 3 + 2 ⋅ 1 3 = 4 3

Resposta

∫ c F ⋅ d   l → = 4 3

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1