UFMG; Cálculo 1; Prova 2 – 2022.1; Exercício 2
2) Determine o domínio e números críticos da função
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
A primeira coisa que o exercício nos pede é definir o domínio dessa função. E o que é mesmo o domínio da função?
Imagine que a sua função é uma máquina. Bizarro, né? Mas é só para o nosso exemplo. Essa máquina precisa de Matérias Primas que, quando colocamos na nossa máquina, nos fornece produtos. Esses produtos são a imagem da função e essas Matérias Primas são os números do conjunto domínio. Justamente o que queremos achar! Mas cuidado... Tenha em mente que nem todos os números contidos em são bons para a nossa máquina. Então vamos procurar se há algum número que não serve em nossa função.
Passo 2
A partir desse passo, vamos olhar para a nossa função e checarmos os casos críticos. Por exemplo:
precisa ser maior ou igual a zero. Isso por se tratar de uma raiz quadrada. Então:
Desenvolvendo:
ou
Também podemos dizer que:
Esse já é um primeiro indício de que o domínio dessa função não é o conjunto completo.
Passo 3
Agora, precisamos analisar . Essa fração precisa ser menor ou igual a para que haja . Portanto:
Desenvolvendo:
Essa fração também precisa ser maior ou igual a para que haja . Portanto:
Desenvolvendo:
Então, também percebemos nessa análise que .
Portanto, já podemos dizer que o domínio é o intervalo:
Passo 4
Agora, o que falta é encontrarmos o ponto crítico da função . Mas o que é o ponto crítico mesmo?
O ponto crítico de uma função derivável é um ponto onde é igual a zero. Ou seja, precisamos derivar a função e igualar a zero para encontrarmos qual a coordenada de do ponto crítico. Após, é só colocarmos esse encontrado em e teremos a coordenada . Então vamos nessa!
Começaremos derivando . Como há a multiplicação entre e usaremos a regra do produto, que nos diz:
Nesse nosso caso, e , então:
Já em teremos a regra da cadeia, já que há uma função composta. Então consideraremos e .
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Retornando para a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora faremos a derivada de . Esse também é caso de regra da cadeia, já que é uma função composta.
Simplificando:
Juntando as derivadas que calculamos:
Repara que se vc colocar o pra dentro da raíz, ele deverá entrar como e multiplicar distributivamente os termos, portanto:
Perceba que podemos cancelar as frações, então é:
Como precisamos de :
Aplicando nos dois lados:
Legal, vamos aplicar em para encontrarmos o :
Então o ponto crítico é .
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
Respostas no desenvolvimento acima.