UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, 1º Estágio - 2016.1, Questão 1a
Seja a função definida por
a) Determine o domínio e a imagem de .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função definida por partes, onde ela apresenta uma lei de formação diferente pra cada intervalo considerado, e nós precisamos encontrar o domínio e a imagem dessa função.
O domínio é o conjunto de todos os números que a variável independente, no caso , pode assumir. Pra verificar o domínio de uma função por partes não tem mistério, basta verificar se há restrições dentro do intervalo de cada expressão.
A imagem são os valores que vai assumir, que também vai variar conforme o intervalo considerado.
Então, vamos lá!
Passo 2
Vamos analisar o formato que a função assume em cada intervalo para determinar nosso domínio. Olhando pra quando é menor do que , temos:
E aí pode assumir qualquer valor de até , beleza? Ou seja:
Quando é maior ou igual a e menor do que , temos a função:
Que também não tem nenhuma restrição em seu domínio. Então, a gente estende esse intervalo de até .
Agora quando tá entre e , a função tem a forma:
Repare que para o nosso denominador não zerar, não pode nunca ser igual a . Então, temos agora uma restrição, nosso intervalo vai ser aberto em e fica assim:
Por fim, quando é maior ou igual a , , e pode assumir qualquer valor também. Então, juntando tudo, o domínio da nossa função completa será:
Passo 3
A imagem são os valores que irá assumir. Olhando pra nossa função vemos que para o intervalo , temos:
No intervalo , vemos que o menor valor que a função pode assumir no intervalo é , então . E o maior valor seria algo próximo de zero, supondo que seja zero, teríamos . Então, a função varia assim:
No intervalo , a gente precisa avaliar em e em , porque a função não está definida para . Assim, teríamos para , . E , quando se aproxima de .
De a , teríamos e para , teríamos . Então, a função varia no intervalo de assim:
Por fim, temos o intervalo , onde vai ser sempre igual a .
Juntando tudo, temos a imagem da nossa função:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉