UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 10, Questão 8
Ao criar uma função (ou definir uma função, usando o linguajar matemático), devemos especificar o domínio, o contradomínio e a regra de formação (ou regra de associação) da função. Por exemplo, dada por tem domínio , contradomínio e regra de formação . Porém, nem sempre essas três informações fornecem uma função. Por exemplo dada por não é uma função, pois a regra não pode ser aplicada a todos os elementos do domínio. Neste
caso, dizemos que não está bem definida (caso fosse uma função, diríamos que está bem definida).
Em cada um dos itens abaixo, diga quais estão ou não bem definidos.
a) dada por
b) dada por
c) dada por
d) dada por
e) dada por
f) dada por é o número cujo quadrado é .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu as informações de domínio, contradomínio e regra de formação de algumas possíveis funções e a gente precisa verificar se eles são de fato funções e, portanto, estão bem definidas.
Para isso, vamos analisar o domínio e o contradomínio, verificando se eles satisfazem os requisitos da lei de formação.
Vamos lá!
Passo 2
No item a), temos:
dada por
Nosso domínio é definido pelos números reais e nosso contradomínio é constituído pelos números reais não negativos (isto é, números positivos). Mas repare que se a gente fizer , por exemplo, nossa lei de formação vai nos fornecer:
Que é um número negativo, que estaria no contradomínio. Como isso não pode acontecer, dizemos que não está bem definida.
Para o item b), temos:
dada por
É a mesma lei de formação e o mesmo domínio, mas o contradomínio agora está no conjunto dos números reais (que engloba também os números negativos). Portanto, agora podemos dizer que nossa função está bem definida.
Na letra c), temos:
dada por
Isso significa que agora nosso domínio é apenas o intervalo e nosso contradomínio são os números reais não negativos. Aqui a nossa função também está bem definida, porque para variando de até , o nosso vai ser sempre positivo e vai está contido no contradomínio definido.
Passo 3
Na letra d), temos:
dada por
Nosso domínio é definido pelos números reais e nosso contradomínio também. Mas existem valores reais que não pode assumir, porque zerariam o denominador. Por exemplo, , nos daria , o que não existe, é chamada indeterminação. Portanto, não está bem definida.
Em e), temos:
dada por
Agora nosso domínio são os números reais menos o número , e o nosso contradomínio são os números reais. Dessa forma, a gente tira a indeterminação, porque pode assumir qualquer valor desde que não seja . Assim, nossa função está bem definida.
Passo 4
Por fim, temos:
dada por é o número cujo quadrado é
Nosso domínio e nosso contradomínio estão no conjunto dos números reais, e temos uma lei de formação onde é o número cujo quadrado é , ou seja:
Ou
Para que essa raiz quadrada esteja definida dentro dos números reais, precisa ser positivo. Então, existem valores reais no domínio que ele não pode assumir. Dessa forma, dizemos que a nossa função não está bem definida.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
a) não está bem definida
b) está bem definida
c) está bem definida
d) não está bem definida
e) está bem definida
f) não está bem definida