Encontre o domínio e a imagem da função f e trace um esboço mostrando uma região sombreada em R^3 , como um conjunto de pontos no domínio de f .

h) f(x, y) = arcosen(x + y)

Passo 1

Fala galera, tudo beleza?

Nessa questão estamos trabalhando com as queridíssimas funções de duas variáveis.

Recebemos a função:

f x , y =   a r c s e n x + y

E, precisamos calcular o seu domínio e a sua imagem.

Vocês lembram o que é o domínio e o que é a imagem?

É legal pensar numa analogia da função como sendo uma liquidificador. O domínio é o conjunto de todos os ingredientes que você pode colocar dentro do liquidificador (não dá pra colocar tudo, algumas coisas quebraria o aparelho, certo?).

Já a imagem é o que o liquidificador produz após bater todos aqueles ingredientes, sacaram?

Então, nossa ideia é primeiro verificar as possíveis restrições na nossa lei de função f ( x , y ) para encontrar o domínio de f .

Em seguida, vemos os possíveis valores que esse domínio pode nos dar em f .

Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Bom, vamos começar analisando a nossa função f :

f x , y = a r c s e n ( x + y )

A expressão dentro do arcoseno representa justamente o valor do seno de f ( x , y ) . Como representa o valor de um seno, precisa obrigatoriamente estar no intervalo:

- 1,1

Assim:

x + y ≥ - 1

∴ y ≥ - 1 - x

E:

x + y ≤ 1

∴ y ≤ 1 - x

Assim, o domínio de f pode ser escrito como:

D f = x , y ∈ R 2   - 1 - x ≤ y ≤ 1 - x }  

Essa região, representada graficamente, fica:

Onde o nosso domínio é justamente a parte branca entre as duas regiões sombreadas.

Passo 3

Vamos agora pensar na imagem da função. Temos:

f x , y = a r c s e n x + y

Existem diversos ângulos que resultam no mesmo valor de seno, ou seja, existem diversos f ( x , y ) cujo seno resultam em x + y . Para eliminar esse problema as funções seno sempre consideram que o contradomínio está entre:

- π 2 , π 2

Como x + y abrange todos os valores entre - 1 e 1 , temos que a imagem de f compreende:

I m f ∈ - π 2 , π 2

Sacaram?

É isso gente, até a próxima 😊

Resposta

D f = x , y ∈ R 2   - 1 - x ≤ y ≤ 1 - x }

I m f ∈ - π 2 , π 2

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