1.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:

g) f(x, y) = ln(16 - 4*x^2 - y^2)

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos obter o domínio da função f x , y = ln ⁡ 16 - 4 x 2 - y 2 e obter um esboço do seu gráfico.

Parece tranquilo? 👀

Para obter o domínio de uma função, temos que analisar a função em si e se perguntar quais os possíveis valores as variáveis podem admitir para que a função seja definida no espaço real.

Legal, né? 😊

Já para obter o gráfico da função, podemos usar algumas arte manhas, como por exemplo obter algumas curvas de níveis da função fazendo f x , y = k e definindo algum valor para k onde f seja definido, ou também fixar alguma das variáveis a um constante e esboçar seu gráfico em duas dimensões no plano onde a variável foi fixada.

Entendeu? Bora lá! 😉

Passo 2

Vamos começar analisando a função f x , y = ln ⁡ 16 - 4 x 2 - y 2 .

Vemos que a função f se trata de uma função logarítmica e com base nas características da função f x = ln ⁡ x sabemos que esta só é definida se x > 0 , ou seja, se o conteúdo dentro do l n for maior que 0 .

Trazendo isso para o nosso problema, temos que

16 - 4 x 2 - y 2 > 0

4 x 2 + y 2 > 16

Com isso, nosso domínio da função pode ser descrito como

D o m f = f x , y ∈ R 4 x 2 + y 2 > 16

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Por fim, para esboçar o gráfico de f vamos usar o método dos níveis fazendo f x , y = k

f x , y = ln ⁡ 16 - 4 x 2 - y 2 = k

Elevando os dois lados por e , temos

e ln ⁡ 16 - 4 x 2 - y 2 = e k

16 - 4 x 2 - y 2 = e k

4 x 2 + y 2 = 16 - e k

Com isso vemos que os níveis de f serão elipses dadas por

4 x 2 16 - e k + y 2 16 - e k = 1

x 2 16 - e k 4 + y 2 16 - e k = 1

Ou seja, quanto maior o nível k , menor é a elipse já quanto maior k , mais o nível de f tende a

x 2 4 + y 2 16 = 1

Assim, podemos obter o gráfico de f como

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

D o m f = f x , y ∈ R 4 x 2 + y 2 > 16

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