UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 2.2c
Encontre o domínio e a imagem da função e trace um esboço mostrando uma região sombreada em , como um conjunto de pontos no domínio de .
Passo 1
Ooi gente, como vocês estão?
Nessa questão estamos trabalhando com as queridíssimas funções de duas variáveis.
Recebemos a função:
E, precisamos calcular o seu domínio e a sua imagem.
Vocês lembram o que é o domínio e o que é a imagem?
É legal pensar numa analogia da função como sendo uma liquidificador. O domínio é o conjunto de todos os ingredientes que você pode colocar dentro do liquidificador (não dá pra colocar tudo, algumas coisas quebraria o aparelho, certo?).
Já a imagem é o que o liquidificador produz após bater todos aqueles ingredientes, sacaram?
Então, nossa ideia é primeiro verificar as possíveis restrições na nossa lei de função para encontrar o domínio de .
Em seguida, vemos os possíveis valores que esse domínio pode nos dar em .
Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊
Passo 2
Analisando a nossa função:
Como trata-se de uma fração dentro de uma raiz quadrada, temos duas restrições:
- o termo dentro da raiz n��o pode ser negativo
- o denominador da fração não pode ser nulo
Da primeira restrição, vem que:
Daí, se , então:
Já se , temos:
Podemos juntar essas duas condições escrevendo que:
Já da segunda restrição, temos que:
Assim:
Juntando as duas condições temos:
Assim, podemos escrever o domínio como sendo:
Perfeito!
Passo 3
Bom, analisando a nossa função:
Como trata-se de uma raiz quadrada, ela nunca é negativa. Ou seja:
Logo, o valor mínimo que ela pode assumir é . Isso ocorre quando:
Pois assim o numerador se anula.
Já para o valor máximo, como temos uma fração dentro da raiz, se o denominador tender a função tende a infinito
Isso ocorre justamente .
Assim, o valor máximo da função é:
Portanto, a imagem da função vale:
Prontinho!
Obrigado pela atenção pessoal 😊