A função cosseno hiperbólico é definida como

cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

a) Calcule cosh(0), cosh(1) e cosh(-2)

b Qual é o domínio desta função?

c Verifique que esta função é par.

d Faça o gráfico. Sugestão. Faça o gráfico de e^x / 2 e e^(-x) / 2 e utilize a adição de gráficos.

Passo 1

Fala aí gente, tudo bom com vocês?

Nessa questão vamos trabalhar um pouco a definição da função c o s s e n o   h i p e r b ó l i c o .

Como o enunciado nos falou, ela é definida através da função exponencial pela relação:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Precisaremos calcular o cosh ⁡ x para x = { 0,1 , - 2 } , basicamente iremos substituir x por esses valores dentro da função cosh ⁡ x .

Também iremos determinar o domínio da função cosh ⁡ x .   Aqui a ideia é verificar se há alguma restrição nos reais segundo a lei de formação de cosh ⁡ x .

No item c ) , provaremos que cosh ⁡ x   é uma função par. Para isso, precisamos mostrar que:

cosh ⁡ x = cosh ⁡ - x

E, por fim, iremos desenhar o gráfico da nossa querida função!

Então vamo nessa!

Passo 2

Começando pelo item a ) , temos que calcular cosh ⁡ 0 , cosh ⁡ 1 e cosh ⁡ ( - 2 ) .

Bora lá, basta substituir x na expressão:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

pelo valor que queremos.

Logo:

cosh ⁡ 0 = e 0 + e - 0 2

= 1 + 1 2

∴ c o s h   0 = 1

Para cosh ⁡ 1 ,   temos:

cosh ⁡ 1 = e 1 + e - 1 2

Usando a calculadora:

cosh ⁡ 1 = 1,543

Por fim:

cosh ⁡ - 2 = e - 2 + e - - 2 2

= e - 2 + e 2 2  

Pela calculadora:

cosh ⁡ ( - 2 ) = 3,762

Excelente!

Passo 3

No item b ) precisamos verificar o domínio da função hiperbólica.

Aqui o nosso problema passa por verificar se tem alguma restrição na lei de formação do cosh ⁡ x .

Vamos detalhar um pouco mais a fórmula que nos foi dada:

cosh ⁡ x = e x + 1 e x 2

A nossa função exponencial possui domínio em todos os reais. Assim, poderíamos ter algum problema no termo:

1 e x

Pois, onde e x for 0 teremos uma restrição. Mas, o massa é que a função e x nunca alcança o valor nulo, ela apenas tende a zero quando x → - ∞ .

Logo, o domínio de cosh ⁡ x   é todo o conjunto dos números Reais.

Passo 4

No item c ) devemos verificar se a função é par. Para fazer isso, precisamos verificar se a igualdade abaixo é verdadeira:

cosh ⁡ x = cosh ⁡ - x

Vamos partir do lado direito e tentar chegar no lado esquerdo:

cosh ⁡ - x = e - x + e - - x 2

= e - x + e x 2

Mas, a expressão acima é justamente o cosh ⁡ x . Assim, concluímos que:

cosh ⁡ x = cosh ⁡ - x

Portanto, de fato a função c o s h é par.

Passo 5

Pra finalizar, no item d ) precisamos desenhar o gráfico de cosh ⁡ x .

Nos é dada a sugestão de montar separadamente os gráficos de e x / 2 e e - x / 2 , e depois adicioná-los.

Então, vamo seguir essa ideia!

Bora dar uma revisada no formato do gráfico de e x :

Para desenhar o gráfico de e x 2 devemos entender que ao multiplicar e x por 1 2 é como se tivéssemos encolhido a curva de e x por esse mesmo fator. Assim, temos o gráfico:

Já no gráfico de e - x / 2 , primeiro multiplicamos o termo x por ( - 1 ) . Isso é equivalente graficamente a refletir a curva de e x com relação ao eixo y . Após essa reflexão o gráfico também foi encolhido pelo fator de 1 / 2 . Assim, temos:

Muito bom! Agora é só fazermos a superposição (adição) dos dois gráficos. Vamos ficar com:

Prontinho! Com isso matamos a questão 😊

Resposta

Resposta no texto.

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