Seja f uma função inversível (isto é, que possui inversa) e suponha que f(1) = 3 e que f(3) = 7 . Determine f^(-1)(3) e f(3)^(-1) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu dois pontos, ( 1 ,   3 ) e ( 3 ,   7 ) , e pediu pra gente calcular f - 1 ( 3 ) e f 3 - 1 .

Para isso vamos encontrar a função f ( x ) usando os dois pontos que ele nos deu na equação y = a x + b , em seguida, vamos encontrar a função inversa f - 1 , calcular o valor em x = 3 , e calcular f 3 - 1 = 1 f ( 3 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo nossa função, substituindo x ,   y = ( 1 ,   3 ) em y = a x + b :

3 = a + b

E para x ,   y = ( 3 ,   7 ) , temos:

7 = 3 a + b

Resolvendo o sistema:

a + b = 3 3 a + b = 7

Obtemos a = 2 e b = 1 . Logo, nossa função será:

f x = 2 x + 1

Passo 3

Para calcular a inversa, vamos trocar x por y e y por x para obter:

x = 2 y + 1

Isolando y , temos:

f - 1 x = y = x - 1 2

Então, f - 1 3 = 3 - 1 2 = 1 .

Para f 3 - 1 , vamos calcular usando f x = 2 x + 1 :

f 3 - 1 = 1 f ( 3 ) = 1 2 3 + 1 = 1 7

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f - 1 3 = 1 ,       f 3 - 1 = 1 7

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