UFSCar; Cálculo I – 1ª Lista de exercícios - Revisão de funções – Ex. 1c
1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo
c)
Passo 1
Oi pessoal, como vão?? Me contaram aqui que vocês estão suuuper animados com essa resolução, felizes pra caramba, como nunca estiveram!!
Não quero saber de desânimo!! Bora transformar ela em algo legal e mais atrativo? hahahaha a gente consegue, acreditem!! Bora lá!!
Nesse exerc��cio precisamos encontrar o domínio e a imagem da função dada pelo enunciado.
Legal, mas o que é domínio e imagem? Como encontramos esses valores?
Bem, para entendermos o que é um domínio e imagem, precisamos definir o que é função. Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. A “ferramenta” que transforma os elementos do conjunto A em um elemento do conjunto B é o que chamamos de função.
Assim já definimos quem é o domínio. O domínio é o conjunto numérico formado pelos valores que pode assumir na nossa função.
Já a imagem é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos que correspondem a algum elemento do domínio. Ou seja, todos os valores possíveis que sairão da nossa “ferramenta”, formarão a nossa imagem.
Muito legal, não é? Então bora calcular!
Passo 2
Como vimos no Passo 1, o domínio é formado pelos possíveis valores de . Aqui procuramos se há algum valor de que torna a função impossível de ser resolvida.
No caso de , temos uma condição específica. Aqui, o denominador nunca poderá ser igual a , já que isso tornaria a função uma divisão por zero.
Vamos encontrar os valores que precisamos excluir do domínio por esse motivo:
Ou seja, e não estão no domínio dessa função.
O domínio de é qualquer diferente de e .
Passo 3
Agora para a imagem, vamos observar os possíveis resultados da nossa função.
Como estamos falando de uma função com exceções no domínio, faremos o cálculo do discriminante da nossa função para definirmos os intervalos de imagem.
Manipulando a nossa função, temos que:
Veja que ficamos com uma função do segundo grau em relação a , sendo seus termos:
E para uma equação quadrática da forma , o discriminante é :
Agora que sabemos o discriminante, vamos encontrar os valores de que tornam maior ou igual a zero:
Completando o quadrado:
Simplificando:
Como temos uma potência:
ou
Ou seja:
ou
Esses valores são os limites da nossa imagem. E ela será dada por:
Conseguimos mais uma, pessoal!! Arrasamos!
Aproveita essa sensação top de dever cumprido que eu sei que você está sentindo e bora lá fazer mais umaaa!