Determine o domínio em R e o conjunto-solução da inequação:

raiz(x + 2) < 3

Passo 1

Vamos começar pelo domínio. Precisamos que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero, então: x + 2 ≥ 0 ⟹ x ≥ - 2

Então, nosso domínio será:

D = x ∈ R : x ≥ - 2

Passo 2

Calculado o domínio, vamos resolver a inequação. Para isso, começamos achando as raízes da equação correspondente:

x + 2 = 3

Elevando ao quadrado:

x + 2 = 3 2

x + 2 = 9

Isolando x , encontramos a raiz:

x = 9 - 2 = 7

Passo 3

Agora, isolamos nossa inequação, deixando o zero à direita:

x + 2 < 3

x + 2 - 3 < 0

Passo 4

E testamos para os intervalos truncados pela raiz, ou seja:

x < 7

x > 7

Para o primeiro, x < 7 , escolhemos x = 0 que satisfaz e está dentro do domínio, assim:

x + 2 - 3 ⟹ 0 + 2 - 3 ⟹ 2 - 3

Como:

2 < 3 < 3

Então:

2 - 3 < 0

Ou seja, temos:

x + 2 - 3 < 0

Para x < 7 . Que é equivalente:

x + 2 < 3

Logo, esse intervalo satisfaz a inequação.

Analogamente, vamos agora para x > 7 . Escolhemos então x = 8 que está dentro do domínio também:

x + 2 - 3 ⟹ 8 + 2 - 3 ⟹ 10 - 3

Como:

10 > 9 = 3

Então:

10 - 3 > 0

Ou seja, temos:

x + 2 - 3 > 0

Para x > 7 . Que é equivalente:

x + 2 > 3

Que não bate com nossa inequação. Então, para x > 7 a inequação não é satisfeita. Logo a nossa solução vai ser dada por x < 7 excluindo os pontos que não pertencem ao domínio. Como:

D = x ∈ R : x ≥ - 2

Então, temos como solução:

S = x ∈ R :   - 2 ≤ x < 7

Ou, se preferir:

S = x ∈ R :   x ∈ - 2,7

Resposta

D = x ∈ R : x ≥ - 2

S = x ∈ R :   x ∈ - 2,7

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