Considere a função cujo gráfico é dado a seguir e faça o que se pede

(b) Determine o domínio e a imagem da função inversa de f^(-1) ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos dá o seguinte gráfico de uma função f

e, esta alternativa pede para determinarmos o domínio e a imagem de uma inversa f - 1 , para isso, vamos lembrar que para uma função

f : ⅅ → ℂ ⅅ

em que é o domínio e ℂ ⅅ o contradomínio da função, a inversa existe de forma que

f - 1 : ℂ ⅅ → ⅅ

Consegue identificar o que isso quer dizer? Vem comigo!

Passo 2

O domínio de nossa função é claramente os reais, note que traçando uma linha vertical sobre qualquer valor de x no gráfico a seguir

a reta sempre irá cruzar a curva uma vez! Portanto,

ⅅ f = { ℝ }

isso nos garante que o contradomínio de nossa inversa é dado por

ℂ ⅅ f - 1 = { ℝ }

Antes de fazermos afirmações sobre a imagem, vamos analisar o domínio de nossa inversa! Belezinha?

Passo 3

O gráfico da função aparenta ter duas assíntotas horizontais em f = 2 e f = - 2 , isso limitaria o contradomínio de f no intervalo

ℂ ⅅ f = ( - 2 ,   2 )

Isso faz com que o domínio de nossa inversa seja dado por

ⅅ f - 1 = { x ∈ ℝ |   - 2 < x < 2 }

Se neste intervalo tivermos que o gráfico de nossa função percorre todo o eixo y , então o nosso contradomínio ℂ ⅅ f - 1 é igual a imagem 𝕀 m f - 1 . Como, por definição temos que f admite inversa, então ela é bijetora, temos que f - 1 também deve ser bijetora e portanto, sobrejetora, garantindo que o contradomínio é igual a imagem! Temos então que

𝕀 m f - 1 = { ℝ }

A alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

ⅅ f - 1 = { x ∈ ℝ |   - 2 < x < 2 } e 𝕀 m f - 1 = { ℝ }

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