Determine o domínio de cada uma das funções abaixo:

d) y = raiz((1 - x^2) / (4 + x))

Passo 1

Faaaaala pessoal, tudo bom?

Nessa questão precisamos avaliar o domínio da função dada. No caso, temos:

y = 1 - x 2 4 + x

Vocês lembram o que é o domínio de uma função?

Basicamente é o conjunto de valores que x pode assumir sem trazer qualquer restrição matemática para a função.

A ideia geral nesse tipo de questão é pensarmos no tipo de restrição que a lei de formação da função nos traz.

Por exemplo, no caso de uma fração, temos a restrição matem��tica do denominador não poder ser nulo. Já no caso de uma raiz quadrada, o radicando não pode ser negativo.

A partir disso, analisamos os valores de x que não trazem restrição para a função.

Esse será o seu domínio.

Sacaram a ideia? Então vamos nessa!

Passo 2

Nesse item, temos a função:

y = 1 - x 2 4 + x

Logo, temos duas restrições envolvidas:

- O radicando precisa ser não-negativo

- O denominador da fração precisa ser não nulo.

Ou seja:

1 - x 2 4 + x ≥ 0

E:

4 + x ≠ 0

Da segunda condição, já temos:

x ≠ - 4

Massa!

Passo 3

Vamos destrinchar um pouco melhor essa primeira condição:

1 - x 2 4 + x ≥ 0

Para essa relação ser válida, precisamos que tanto o numerador como o denominador tenham o mesmo sinal. Vamos começar analisando o intervalo em que ambos são positivos:

1 - x 2 ≥ 0

x 2 ≤ 1

∴ - 1 ≤ x ≤ 1

E, para termos o denominador positivo:

4 + x > 0

∴ x > - 4

Juntando os dois intervalos, vemos que para o numerador e denominador serem ambos positivos, devemos ter:

- 1 ≤ x ≤ 1

(na igualdade o numerador é nulo e o denominador é diferente de zero 😊).

Vamos pensar agora no caso em que ambos são negativos:

1 - x 2 < 0

1 < x 2

Logo:

x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 1 , ∞

Já para o denominador ser negativo:

4 + x < 0

∴ x < 4

Fazendo a intersecção desses dois intervalos, temos:

x ∈ ( - ∞ ,   - 1 )

Portanto galera, se unirmos os intervalos em que o nosso radicando:

1 - x 2 4 + x ≥ 0

É não-negativo, temos:

x ∈ ( - ∞ , 1 ]

Passo 4

Resumindo, vimos que para obedecer a condição do radicando não negativo, devemos ter:

x ∈ ( - ∞ , 1 ]

E, para obedecer a condição do denominador não nulo, devemos ter:

x ≠ - 4

Fazendo o cruzamento dessas duas condições, o intervalo de valores que atende as duas é justamente o domínio de f . Daí, já temos:

x ∈ - ∞ ,   - 4 ∪ ( - 4 ,   1 ]

Prontinho, obrigado pela atenção pessoal 😊

Resposta

x ∈ - ∞ ,   - 4 ∪ ( - 4 ,   1 ]

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