Determine o domínio em R e o conjunto-solução da inequação:

raiz(1 - 3x) - raiz(5 + x) > 0

Passo 1

Vamos começar pelo domínio. Precisamos que o que está dentro das raízes seja maior ou igual a zero, então: 1 - 3 x ≥ 0 ⟹ 1 ≥ 3 x ⟹ x ≤ 1 3

5 + x ≥ 0 ⟹ x ≥ - 5

Então, nosso domínio será dado pela interseção:

D = x ∈ R : - 5 ≤ x ≤ 1 3

Passo 2

Calculado o domínio, vamos resolver a inequação. Para isso, começamos achando as raízes da equação correspondente:

1 - 3 x - 5 + x = 0

Jogando para o outro lado para facilitar e elevando ao quadrado:

1 - 3 x = 5 + x

1 - 3 x = 5 + x

4 x = - 4

x = - 1

Passo 3

Agora, retornamos a nossa inequação:

1 - 3 x - 5 + x > 0

Que está com o zero isolado à direita.

Passo 4

E testamos para os intervalos truncados pela raiz, ou seja:

x < - 1

x > - 1

Para o primeiro, x < - 1 , escolhemos x = - 2 que satisfaz e está dentro do domínio, assim:

1 - 3 x - 5 + x ⟹ 1 + 6 - 5 - 2 ⟹ 7 - 3 > 0

Ou seja, temos:

1 - 3 x - 5 + x > 0

Para x < - 1 . Nosso interesse é:

1 - 3 x - 5 + x > 0

Então temos justamente o que queremos. Logo x < - 1 satisfaz a nossa inequação.

Analogamente, vamos agora para x > - 1 . Escolhemos então x = 0 que está dentro do domínio também:

1 - 3 x - 5 + x ⟹ 1 - 5 < 0

Ou seja, temos:

1 - 3 x - 5 + x < 0

Que não satisfaz nossa inequação. Assim, consideramos x < - 1 para nossa solução excluindo os pontos que não pertencem ao domínio. Como temos:

D = x ∈ R : - 5 ≤ x ≤ 1 3

Então teremos solução no intervalo:

- 5 ≤ x < - 1

S = x ∈ R : - 5 ≤ x < - 1

Ou, se preferir:

S = x ∈ R :   x ∈ - 5 , - 1

Resposta

D = x ∈ R : - 5 ≤ x ≤ 1 3

S = x ∈ R :   x ∈ - 5 , - 1

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