8. Determine o domínio e execute as operações indicada nas expressões abaixo. Em seguida, simplifique essas expressões, fatorando numerador e o denominador, caso necessário.

(a) (x - 4) / (x^2 - 9) × (x + 3) / (2x^2 - 8x) .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa expressão, temos uma operação de duas frações polinomiais e nossa tarefa é obter o resultado mais simples possível, com o máximo de simplificações. Depois disso, obtemos o domínio da função resultante.

Entendeu? Bora começar! 😎

Nesse caso, para simplificar a operação, vamos verificar se podemos fatorar alguns termos para cortar do numerador e do numerador.

Olhando para o resultado final, podemos obter o domínio da função como os possíveis valores que x pode adquirir para que a função seja definida.

Vamos ver na prática! 👀

Passo 2

Vamos chamar nossa função de f x , ou seja

f x = x - 4 x 2 - 9 × x + 3 2 x 2 - 8 x = x - 4 x + 3 x 2 - 9 2 x 2 - 8 x

No denominador da primeira fração, podemos fatorar como

x 2 - 9 = x - 3 x + 3

Já no denominador do segundo termo, temos que 2 x é comum para 2 x 2 e - 8 x , logo

2 x 2 - 8 x = 2 x x - 4

Substituindo essas fatorações em f x

f x = x - 4 x + 3 x - 3 x + 3 2 x x - 4

Perceba que x + 3 aparece multiplicando no numerador e no denominador, portanto podemos simplificá-lo

f x = x - 4 x - 3 2 x x - 4

O mesmo acontece para x - 4

f x = 1 x - 3 2 x

f x = 1 2 x x - 3

Logo, vemos que a função estranha que tínhamos no início se resume a simplesmente 1 2 x x - 3

Passo 3

Agora, nos resta obter o domínio de f x .

Como nossa função é uma fração polinomial, a única maneira de f não ser definido, é se o denominador for igual a 0 , já que a divisão por 0 não existe.

2 x x - 3 = 0

Assim, vemos que para essa equação ser satisfeita, 2 x tem que ser igual a 0 e/ou x - 3 tem que ser igual a 0

2 x = 0 x - 3 = 0 → x = 0 x = 3

Logo, o domínio de f x são todos os números reais, exceto x = 0 e x = 3

D f = x ∈ R x ≠ 0 , x ≠ 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f x = 1 2 x x - 3

D f = x ∈ R x ≠ 0 , x ≠ 3

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