Determine o domínio e a imagem das funções:

c)

z = arcsen(x + y - 1)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos o domínio e a imagem da seguinte função:

z = arcsin ⁡ ( x + y - 1 )

Lembrando que o domínio de uma função se trata do subconjunto de R no qual todas as operações indicadas em z = f ( x , y ) são possíveis.

E a imagem é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos correspondentes de algum elemento do domínio.

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... para que a função exista, então temos que:

- 1 ≤ x + y - 1 ≤ 1 ∴

0 ≤ x + y ≤ 2

Assim, vemos que o domínio D é todo número em R 2 tal que 0 ≤ x + y ≤ 2 , ou seja:

D = x , y ∈ R 2 | 0 ≤ x + y ≤ 2

Passo 3

Considerando os extremos do intervalo x + y obtidos anteriormente, faz-se:

  • Para x + y = 0 :
  • z = arcsin ⁡ 0 - 1 ∴

    z = arcsin ⁡ - 1 ∴

    z = - π 2

  • Para x + y = 2 :

z = arcsin ⁡ 2 - 1 ∴

z = arcsin ⁡ 1 ∴

z = π 2

Assim, a imagem I m é dada por:

I m = - π 2 , π 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

D = x , y ∈ R 2 | 0 ≤ x + y ≤ 2

I m = - π 2 , π 2

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