Determine o domínio e resolva a seguinte equação em :
Passo 1
Vamos encontrar o domínio primeiro. Como temos uma raiz, o valor que está dentro dela não pode ser negativo, pois teremos raiz de um número negativo que não é real. Assim, vamos olhar para cada raiz. Começando com :
Precisamos que:
Agora, para :
Para :
Pegamos a interseção dos três que será justamente . Logo, teremos:
Passo 2
Agora, isolar os radicais não vai ajudar em muita coisa, então vamos elevar tudo ao quadrado:
Para o lado esquerdo, vamos distribuir:
Ficando tudo:
Passo 3
Então, vamos então simplificar tudo isolando o radical sem distribuí-lo:
Passo 4
E, então, elevamos ao quadrado novamente para eliminar de vez o radical:
Olhando para o lado esquerdo, teremos:
Agora sim, podemos distribuir:
Olhando para o lado direito:
Ficando tudo:
Passo 5
Vamos então deixar tudo na forma da equação de segundo grau colocando de um lado só
Que é uma equação de segundo grau na forma:
Com:
Assim, por Bhaskara, teremos:
Substituindo os valores:
Sim, tá ficando bem feio!
Vamos tentar fatorar essa raiz aí. Na esquerda temos o número que estamos fatorando e a direita os termos que estamos dividindo:
E é um número primo que não pode mais ser fatorado. Assim, podemos escrever nossa raiz na forma:
Ficando:
Para cada sinal, teremos:
Passo 6
Estes serão nossos candidatos a solução. Resta agora verificar se são solução mesmo. Como trata-se de um número indigesto, vamos usar o valor numérico. Temos que:
Assim, vamos ter:
Olhe só, temos que , sendo que, pelo domínio, precisamos que:
Logo, já está descartado. Para , temos que:
Então ainda está na disputa. Substituindo numericamente:
Logo:
Vai ser solução para o problema e teremos: