Determine o domínio e resolva a seguinte equação em :
Passo 1
Vamos encontrar o domínio primeiro. Como temos uma raiz, o valor que está dentro dela não pode ser negativo, pois teremos raiz de um número negativo que não é real. Assim, como temos , precisamos que:
Ou seja, deverá ser maior ou igual a . Show. Essa é a única restrição, então teremos:
Passo 2
Agora que encontramos o domínio, precisamos isolar o radical. Ficamos com:
Passo 3
Com o radical isolado, elevamos os dois lados ao quadrado para eliminá-lo:
Distribuímos:
Passo 4
Agora, vamos isolar tudo de um lado só para ficar na forma da equação de segundo grau:
Que é uma equação na forma:
Com:
Assim, por Bhaskara:
Substituindo os valores, encontramos:
Essa raiz não é exata, então vamos deixar assim mesmo. Para cada sinal:
Prazer, esses serão nossos candidatos a solução do problema.
Passo 5
Resta agora verificar se são solução mesmo por meio da substituição na equação. Para
Temos:
Agora teremos que ter cuidado. Para resolver isso aí, vamos ter que elevar ao quadrado, mas isso vai fazer com que o sinal de menos seja perdido caso haja, o que pode nos dar um falso positivo. Vamos verificar o sinal de cada lado então.
No lado esquerdo temos apenas um radical que terá resultado positivo. No lado direito, temos uma soma de termos sempre positivos, então o resultado será positivo também. Como o resultado é positivo em ambos lados, podemos elevar ao quadrado e, se der igual, será solução.
Elevando ao quadrado:
Que é verdade. Então é solução. Para o outro valor, vamos encontrar:
Vamos olhar novamente para o sinal. Não sabemos exatamente o valor de , mas sabemos que a raiz nos pergunta: que número que elevado ao quadrado dá 41? Então, vamos elevar números próximos ao quadrado para ter uma estimativa.
Temos que:
Assim, esperamos que:
Assim, teremos que , logo:
Olhá só! Temos um radical que dará positivo à esquerda da equação:
Com um valor negativo à direita da equação:
Logo, temos dois números não nulos de sinais distintos em cada lado do sinal de igualdade, o que não pode ser verdade. Assim, teremos que:
Não vai ser solução. Se tivéssemos elevado ao quadrado a equação:
Perderíamos a informação quanto ao sinal, o que levaria a um falso positivo quanto à solução. Então fica a dica: sempre verifique o sinal de cada lado da igualdade. Se tiverem o mesmo sinal, beleza. Caso contrário, já pode descartar 😉
Finalmente, também temos que:
Logo, está no domínio e então: