Encontre f^(-1) e seu domínio

a) f(x) = ln(e^x - 3)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando uma função

f x = ln ⁡ e x - 3

e pediu para encontrar a inversa e seu o domínio dela. Mas você lembra como encontrar?

O domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas possíveis de x . Em outras palavras: vamos precisar investigar onde essa função não funciona e retirar esses pontos do conjunto dos reais (nosso maior conjunto possível)

Precisamos fugir de:

  • Divisão por zero
  • Raíz de índice par de número negativo
  • Logaritmo de número menor do que 0

Já a para achar a função inversa precisamos seguir os seguintes passos

  1. Fazer f x = y
  2. Trocar x por y
  3. Isolar o novo y : esse será f - 1

Tranquilo?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar achando a inversa

f x = ln ⁡ e x - 3

Seguindo os passos temos

y = ln ⁡ e x - 3

x = ln ⁡ e y - 3

E agora isolar y

e x = e y - 3

e y = e x + 3

E por fim

y = ln ⁡ ( e x + 3 ) = f - 1

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa desigualdade!

Passo 3

Agora por fim precisamos achar o domínio de

f - 1 = y = ln ⁡ ( e x + 3 )

Temos uma função logarítmica, então o logaritmando deve ser positivo, assim precisamos resolver

e x + 3 > 0

E agora? Como e x é sempre positivo, essa desigualdade é válida para qualquer valor de x !

Aí temos

D o m   f - 1 = - ∞ ,   + ∞

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

D o m   f - 1 = - ∞ , �� + ∞

f - 1 = ln ⁡ ( e x + 3 )

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